Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Сокровища Урарту Сокровища Урарту

Четыре сокровища древнего Урарту

Вокруг света
Почему машина заводится и глохнет и что с этим делать Почему машина заводится и глохнет и что с этим делать

Что делать, если машина глохнет: причины, диагностика, куда смотреть

РБК
Советский модернизм Советский модернизм

Вспоминая архитектурную «перестройку»

Наука и жизнь
JALAGONIA: «Мой первый альбом написан от души, вы это почувствуете» JALAGONIA: «Мой первый альбом написан от души, вы это почувствуете»

JALAGONIA за 21 год уже прошла большой творческий путь

ЖАРА Magazine
Перед большим полётом Перед большим полётом

Совсем недавно орнитолог Григорий Ерёмкин пригласил меня в гости к журавлям

Наука и жизнь
Любовь, сбивающая с ног: 10 культовых фильмов про свадьбы Любовь, сбивающая с ног: 10 культовых фильмов про свадьбы

Фильмы о свадьбе, которые заставят вас смеяться и плакать

Правила жизни
Тайна гибели академика Легасова Тайна гибели академика Легасова

В апреле 1988 года был обнаружен повесившимся Валерий Легасов

Дилетант
На аллеях Аполлона На аллеях Аполлона

Остафьево: образ места, где всё буквально дышит поэзией

Знание – сила
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
Любовь к животным и санкции Любовь к животным и санкции

Почему рынок кормов — перспективное направление для инвестиций

Агроинвестор
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Активный сезон Активный сезон

Самые классные и полезные летние развлечения

Лиза
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
TESS отыскал экзогиганта у очень маломассивной звезды TESS отыскал экзогиганта у очень маломассивной звезды

TESS вновь обнаружил экзогиганта у маломассивной звезды

N+1
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Лучшие игры в жанре постапокалипсис Лучшие игры в жанре постапокалипсис

Подборка видеоигр, в которых конец света стал поводом для великих историй

Maxim
Глубинный народ Глубинный народ

Жизнь буквально раздавила скатов

Вокруг света
Жаркое лето в Сибири Жаркое лето в Сибири

Природный отдых у города: почему стоит поехать в Новосибирск летом

Отдых в России
Лесная поликлиника Лесная поликлиника

Какими способами самолечения пользуются животные?

Вокруг света
HDD и SSD накопители — в чем разница и стоит ли переплачивать? HDD и SSD накопители — в чем разница и стоит ли переплачивать?

HDD и SSD: надежный винтаж против скорости света и цены космоса

ТехИнсайдер
Лена Горностаева Лена Горностаева

Какую часть мужского тела Лена Горностаева считает самой сексуальной?

Playboy
Есть на что строить Есть на что строить

Зачем создавать отдельный механизм финансирования — инфраструктурные облигации?

Монокль
В нескольких минутах от третьей мировой В нескольких минутах от третьей мировой

Сбои в работе СПРН случались, но всегда вовремя вмешивался человеческий фактор

Дилетант
Хирургия без шрамов: как появилась лапароскопия Хирургия без шрамов: как появилась лапароскопия

Как и когда хирургия стала щадящей?

ТехИнсайдер
Золото Владивостока Золото Владивостока

Владивосток: город, где каждая сопка — готовый кадр для открытки

Отдых в России
«Почему вы хотите завоевать весь мир?» «Почему вы хотите завоевать весь мир?»

Страх ядерной войны между США и СССР был настолько высок, что передался детям

Дилетант
Болотные семафоры Болотные семафоры

Дупеля летят к нам из жарких поясов экваториальной Африки...

Наука и жизнь
Иван Бунин оправдывается… Иван Бунин оправдывается…

Жизнь в эмиграции всегда не проста, часто эмигрантам приходится объединяться

Дилетант
Битва континентов Битва континентов

История Межконтинентального кубка: скандальные матчи и конкуренция с ФИФА

Ведомости
Без диплома, но с работой Без диплома, но с работой

Почему студенты колледжей бросают учебу?

Ведомости
Открыть в приложении