Как решение абстрактной задачи угрожает всей экономике?

Вокруг светаНаука

Вызов простоты

Самые простые вопросы – самые сложные. Иначе почему математики столетиями бьются над загадками чисел, которые проходят в пятом классе? Рассказываем, почему название «простые числа» обманчиво и как решение абстрактной математической задачи угрожает не только вашему кошельку, но и всей мировой экономике

Текст: Анатолий Глянцев. Иллюстрации: Виктор Богорад

Страшный сон человека, живущего в эпоху цифровизации, – это однажды обнаружить, что персональные данные утекли в свободный доступ, аккаунты взломаны, счета пусты. Но, к сожалению, все это действительно может произойти с каждым из нас – если однажды математики решат интересную задачу и научатся быстро раскладывать любое число на простые множители.

Непростые простые числа

Знакомство с математикой начинается с умения считать. Натуральные числа – 1, 2, 3 и так далее – самые естественные и незамысловатые математические объекты, какие только можно вообразить. Более хитрые понятия – дроби, функции и т.д. – строятся на их основе: как сказал выдающийся математик Леопольд Кронекер, «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих». А ведь натуральные числа еще проще целых – они всегда положительные.

В этом смысле натуральные числа – первоэлементы, кирпичики, из которых состоит бОльшая часть математики (не вся, так как некоторые области математики вообще не имеют дела с числами, – прим. редакции). Но и среди натуральных чисел есть собственные неделимые «кирпичики», из которых состоят остальные числа.

Рассмотрим для примера несколько вот таких чисел: 4 = 2 × 2; 6 = 2 × 3; 7843 = 11 × 23 × 31. Все эти числа относятся к составным. Смысл этого слова прозрачен: например, число 6 составлено из чисел 2 и 3 с помощью умножения. А из чего составлено само число 2? Ни из чего, кроме самого себя: 2 = 2 × 1, и все (напомним, что мы здесь говорим о натуральных числах, а не о дробях, поэтому нас сейчас не интересуют выражения, подобные таким: 2 = 1/2 × 4).

И дело не в том, что число 2 такое маленькое. Число 9929 тоже простое – так называются числа, начиная с 2, которые делятся только на единицу и на себя. Таким образом, первые 10 простых чисел выглядят так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23. А вот число 1 не считается простым!

Зачем нужны такие числа?

На свойствах простых чисел строится алгоритм, который полвека назад произвел революцию в шифровании и до сих пор применяется очень широко. Самый очевидный способ зашифровать сообщение – придумать секретное обозначение для каждой буквы. Например, буква А будет обозначаться числом 2, Б – числом 9, О – числом 7. Тогда 927929 будет означать «баобаб». Только не теряйте памятку, какая буква как обозначена! Этот листок нужен и чтобы зашифровать сообщение («замок»), и чтобы расшифровать его («ключ»). В том, что замок и ключ – одно и то же, и состоит проблема. Допустим, вы онлайн переводите деньги со счета на счет.

Чтобы вы могли зашифровать свое сообщение банку, банк присылает вам свой фирменный замок. Но что будет, если его перехватит злоумышленник? Раз замок одновременно и ключ, хакер сможет «открыть» этим ключом данные и украсть ваши деньги. Гораздо лучше, когда замок и ключ – разные вещи. Банк выдает клиентам замки, ключи от которых есть только у него. Даже если хакер перехватит замок, он не сможет им ничего открыть, только закрыть! Другими словами, банк должен сообщить вашему смартфону способ зашифровать сообщение так, чтобы никто, кроме банка – даже вы сами, – не мог его расшифровать.

Первый такой шифр придумали Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман в 1970–х. По первым буквам их фамилий этот способ шифрования назвали RSA. «Ключ» в этой системе – два больших простых числа, а «замок» – их произведение. Как именно с их помощью шифруют сообщения – это технические детали, которые мы опустим. Важно, что банк сообщает вам только произведение, а сами простые множители держит в секрете.

Фокус в том, что перемножить два простых числа легко, а вот найти множители по их произведению гораздо труднее. Из каких простых чисел стоит число 87404987? Надо проверить, делится ли оно на 2, 3, 5, 7, 11… Придется перебрать немало чисел, чтобы установить, что 87404987 = 8803 × 9929. А ведь в этом числе всего 8 цифр. В RSA-шифровании используются числа длиной более 600 цифр. Разложить такое число на простые множители – непосильная задача даже для суперкомпьютера, по крайней мере, с существующими алгоритмами. Если кто-то найдет способ это сделать, он наверняка получит самые престижные математические награды – или пулю от обладателей больших капиталов.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Ковёр» на Ковентри «Ковёр» на Ковентри

«Любое нападение с воздуха на гражданских противоречит законам ведения войны»

Дилетант
Принудительная стерилизация и рекордные аборты: как живут женщины в Гренландии Принудительная стерилизация и рекордные аборты: как живут женщины в Гренландии

За что борются активистки Гренландии?

Forbes
За гранью человеческого За гранью человеческого

Как воспринимают мир существа, наделенные нечеловеческими чувствами?

Вокруг света
В глубинах Бермудского треугольника В глубинах Бермудского треугольника

Снег в глубинах океана и те, кто им питается

Наука и жизнь
Связанные одной целью Связанные одной целью

Можно ли в одном организме объединить несколько разных существ?

Вокруг света
Аэропорты меняют психику людей? Вот что влияет на восприятие времени и контроль над собой! Аэропорты меняют психику людей? Вот что влияет на восприятие времени и контроль над собой!

Замечали ли вы, что в аэропортах люди ведут себя иначе?

ТехИнсайдер
Дух большой воды Дух большой воды

Почему индейцы боятся «Большой воды» и уходят все глубже в лес?

Вокруг света
Наталья Мазур: Театр – субъективное искусство Наталья Мазур: Театр – субъективное искусство

Наталья Мазур рассуждает о магии театра и делится репертуарными планами

Ведомости
Познание в обход сознания Познание в обход сознания

Почему мозг приписывает намерения нарисованным треугольникам?

Вокруг света
Турция: есть ли жизнь после Эрдогана? Турция: есть ли жизнь после Эрдогана?

Изменится ли политика Анкары после смены многолетнего «раиса»?

Монокль
Этническое чудо Этническое чудо

Сингапур взял лучшее от западной культуры и построил у себя XXII век

Вокруг света
Служенье музам: как женщины строили карьеру в мире искусства и дизайна Служенье музам: как женщины строили карьеру в мире искусства и дизайна

Женщины, без которых бы не было целых художественных направлений и индустрий

Forbes
Большая добыча Большая добыча

Печальные последствия встречи человека с природой Антарктики

Вокруг света
Самые безопасные: 10 авиакомпаний мира, у которых не было авиакатастроф за всю историю их существования Самые безопасные: 10 авиакомпаний мира, у которых не было авиакатастроф за всю историю их существования

Какие авиакомпании безопаснее других за всю историю гражданской авиации

ТехИнсайдер
Японский кавалер Японский кавалер

По иностранным наградам можно легко проследить изменения внешней политики России

Дилетант
На низких оборотах. Причины повышенной утомляемости и как их устранить На низких оборотах. Причины повышенной утомляемости и как их устранить

Когда повышенная утомляемость сигнализирует о серьезных проблемах со здоровьем

Лиза
Насколько вы интернет-зависимы? Насколько вы интернет-зависимы?

Узнайте себя лучше и разберитесь, насколько вы зависите от виртуального мира

Psychologies
Ученые объяснили, как нейронные связи в мозгу влияют на «гибкость» ваших решений Ученые объяснили, как нейронные связи в мозгу влияют на «гибкость» ваших решений

Как гибкость мозга позволяет принимать разные решения в схожих ситуациях

ТехИнсайдер
Российский ТЭК: трудный путь к технологическому суверенитету Российский ТЭК: трудный путь к технологическому суверенитету

Высокая роль импорта в российском ТЭКе уходит корнями в период глобализации

Монокль
Выбирай головой Выбирай головой

Как понять, к кому обратиться — психологу, психотерапевту и психиатру?

VOICE
7 весенних штрафов ГАИ. На что обратить внимание, чтобы не лишиться прав 7 весенних штрафов ГАИ. На что обратить внимание, чтобы не лишиться прав

Ряд специфичных дорожных штрафов, характерных для весны

РБК
Долгам ЦБ не писан Долгам ЦБ не писан

2024 год стал рекордным для рынка облигаций

Деньги
Актриса Мила Ершова о сериале «Аутсорс», маме и «позитивной депрессии» Актриса Мила Ершова о сериале «Аутсорс», маме и «позитивной депрессии»

Актриса Мила Ершова — о своей героине в сериале «Аутсорс» и тонкостях профессии

СНОБ
Добро пожаловать к столу Добро пожаловать к столу

Рассказываем о застольных манерах и правилах хорошего тона в ресторанах

Grazia
Парк вместо поля: как семья воронежского предпринимателя привлекла 200 000 туристов Парк вместо поля: как семья воронежского предпринимателя привлекла 200 000 туристов

Как Маньковы превратили окрестности старинного имения в парк развлечений

Forbes
Атлантида Донта Атлантида Донта

Эрик Донт — создатель садов с узнаваемым стилем. Его работы будто бесконтрольны

Afternoon Seasons of life
Инна Ульянова: «Мы, женщины, любим обманываться» Инна Ульянова: «Мы, женщины, любим обманываться»

«Ее Маргарита Павловна чуть было не погубила всенародно любимый фильм»

Коллекция. Караван историй
Борьба за пятое измерение Борьба за пятое измерение

Россия наметила свой путь освоения технологий — в стороне от мировой схватки

Монокль
Экономический код культуры Экономический код культуры

Опекаемые и окупаемые блага должны обмениваться результатами творчества

Ведомости
Отели как лучше Отели как лучше

Об особенностях российского туристического бизнеса

RR Люкс.Личности.Бизнес.
Открыть в приложении