Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
6 отличных сериалов, герои которых заберутся вам в голову (и не вылезут) 6 отличных сериалов, герои которых заберутся вам в голову (и не вылезут)

Популярные сериалы, закрученные вокруг психологии и поведенческого анализа

Cosmopolitan
У стареющих звёзд оказалась необычно высокая скорость вращения У стареющих звёзд оказалась необычно высокая скорость вращения

В прошлом потеря скорости считалась незыблемым свойством звёзд, но это не так

Популярная механика
Физики попытались понять, что связывает темную энергию и темную материю, но запутались еще сильнее Физики попытались понять, что связывает темную энергию и темную материю, но запутались еще сильнее

Расширение Вселенной ускоряется, но мы не совсем уверены, почему

Популярная механика
Тим Феррис посоветовал 3 книги, которые учат справляться с трудностями Тим Феррис посоветовал 3 книги, которые учат справляться с трудностями

Может ли чтение книги сделать вас более морально устойчивым?

Inc.
Таганская тюрьма Таганская тюрьма

В прошлом «Таганкой» называли знаменитую тюрьму

Дилетант
Роман Курцын: «Надо любить профессию и дорожить ею...» Роман Курцын: «Надо любить профессию и дорожить ею...»

Роман Курцын рассказал о съёмках романтической комедии «Любовь и монстры»

Cosmopolitan
От бесплатного транспорта до десерта с курицей: 13 самых необычных особенностей разных стран От бесплатного транспорта до десерта с курицей: 13 самых необычных особенностей разных стран

Что для одних норма, других повергает в шок

Playboy
Энергия будущего: на что способны реакторы термоядерного синтеза и ждет ли нас эра чистой энергии Энергия будущего: на что способны реакторы термоядерного синтеза и ждет ли нас эра чистой энергии

Есть ли будущее у реакторов ядерного синтеза

Популярная механика
Подземные жадины Подземные жадины

Как дразнили друг друга пассажиры метро

N+1
Последние слова преступников перед казнью Последние слова преступников перед казнью

Последние слова известных преступников, сказанные прямо перед смертью

Cosmopolitan
Что и как нужно пить во время занятий спортом Что и как нужно пить во время занятий спортом

Как правильно соблюдать питьевой баланс во время тренировок?

GQ
Как выглядят Моника Беллуччи, Джулия Робертс, Сигурни Уивер и другие звезды 90-х Как выглядят Моника Беллуччи, Джулия Робертс, Сигурни Уивер и другие звезды 90-х

Как выглядели в молодости популярные актрисы 90-х

Cosmopolitan
Суровый стиль Суровый стиль

Джейсон Стэйтем. Как герой мемов о скупой мимике стал последним киногероем

GQ
Гитарист группы Queen опубликовал занимательное исследование, посвященное форме астероидов Гитарист группы Queen опубликовал занимательное исследование, посвященное форме астероидов

Команда ученых смоделировала на суперкомпьютере рождение множества астероидов

Популярная механика
Грязные танцы Грязные танцы

Год самоизоляции привел к буму в секс-технологиях

Men’s Health
Военные внедорожники стран мира: выпуск 2 Военные внедорожники стран мира: выпуск 2

Пятёрка конкурентов HMMVW.

Популярная механика
Ученые нашли доказательства масштабной добычи изумрудов в римском Египте Ученые нашли доказательства масштабной добычи изумрудов в римском Египте

В позднеримскую эпоху на территории Египта располагались изумрудные копи

N+1
Курица для Навального: почему происходящее с оппозиционером воспринимается как «новая нормальность» Курица для Навального: почему происходящее с оппозиционером воспринимается как «новая нормальность»

Андрей Колесников о свойствах российской власти

Forbes
Как выглядели первые мужья Заворотнюк, Климовой, Мороз и других красавиц-актрис Как выглядели первые мужья Заворотнюк, Климовой, Мороз и других красавиц-актрис

Артистки разочаровались в избранниках, с которыми попытались создать семью

Cosmopolitan
Железная защита: как меняются бизнес-ценности Железная защита: как меняются бизнес-ценности

Какие новые решения в кибербезопасности предлагают производители техники?

Forbes
Ювелир Илья Клюев о том, почему бижутерия не заменит настоящие ювелирные изделия Ювелир Илья Клюев о том, почему бижутерия не заменит настоящие ювелирные изделия

Известный ювелир, владелец российского ювелирного дома CLUEV - Илья Клюев

Cosmopolitan
Магия магния Магия магния

Достаточно ли в организме магния?

Здоровье
Как, наконец, найти девушку в 2021 году: 5 главных советов для всех парней Как, наконец, найти девушку в 2021 году: 5 главных советов для всех парней

Пришла пора найти ту, глядя на которую ты начнешь расплываться в улыбке

Playboy
«Дети — детекторы лжи»: как помочь ребенку научиться признавать ошибки и контролировать эмоции «Дети — детекторы лжи»: как помочь ребенку научиться признавать ошибки и контролировать эмоции

Как научить детей переживать свои поражения и признавать ошибки

Forbes
7 звезд российского Инстаграма, поклонники которых умоляют их больше не худеть 7 звезд российского Инстаграма, поклонники которых умоляют их больше не худеть

Одни ими восхищаются, а другие упрекают в излишней худобе

Cosmopolitan
«Основной фактор развития рака органов головы и шеи — курение» «Основной фактор развития рака органов головы и шеи — курение»

Как пагубная многолетняя привычка уменьшает шансы на благополучный исход

Наука
Почему ухудшается зрение: 5 главных причин Почему ухудшается зрение: 5 главных причин

Почему мы начинаем хуже видеть и как сохранить остроту зрения на долгие годы?

Psychologies
Свинотворение Свинотворение

Ксения Рождественская о «Гунде», документальном блокбастере о свинье

Weekend
Новая неопределенность: почему «мягкие» санкции США все-таки опасны Новая неопределенность: почему «мягкие» санкции США все-таки опасны

Как новые санкции в долгосрочной перспективе сдерживают развитие страны

Forbes
Открыть в приложении