Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
8 шагов, которые помогут выразить гнев экологично 8 шагов, которые помогут выразить гнев экологично

Как подружиться со своими эмоциями и проявлять их безопасно

Psychologies
Холодный синтез: самое известное физическое мошенничество Холодный синтез: самое известное физическое мошенничество

Так начался один из самых громких научных скандалов XX века

Популярная механика
Тайваньцы поверили в легенду, что чипсы защищают технику от поломок. Это спасло производителя чипсов Тайваньцы поверили в легенду, что чипсы защищают технику от поломок. Это спасло производителя чипсов

Легенда, которая помогла бренду чипсов выжить и оставаться популярным

Inc.
«Мне здесь комфортно»: как разработчик из Тамбова создал глобальную adtech-компанию и никуда не уехал «Мне здесь комфортно»: как разработчик из Тамбова создал глобальную adtech-компанию и никуда не уехал

Hybrid вырос в условиях сжимающегося рынка автоматизированной закупки рекламы

Forbes
Учить играючи: предпринимателя надо растить иначе, чем исполнителя Учить играючи: предпринимателя надо растить иначе, чем исполнителя

Постсоветская школа изжила себя, а у родителей зреет запрос на другую школу

Forbes
5 экотехнологий для покорителей космоса 5 экотехнологий для покорителей космоса

Технологии, благодаря которым космос становится ближе

РБК
«Россия на Дунае. Империя, элиты и политика реформ в Молдавии и Валахии, 1812–1834» «Россия на Дунае. Империя, элиты и политика реформ в Молдавии и Валахии, 1812–1834»

Империя, элиты и политика реформ в Молдавии и Валахии

N+1
Нам жизненно необходимы объятия и прикосновения Нам жизненно необходимы объятия и прикосновения

Психологи: как на человека влияет тактильный контакт с другими людьми?

Psychologies
Падающие башни России. Часть 1 Падающие башни России. Часть 1

Падающие башни России: Невьянская башня, башню Сююмбике и другие

Культура.РФ
Стихи, наручники, клопы. Два года из жизни приморской оппозиционерки, которая стала объектом внимания сотрудника Центра «Э» Стихи, наручники, клопы. Два года из жизни приморской оппозиционерки, которая стала объектом внимания сотрудника Центра «Э»

Историю взаимоотношений оппозиционерки Марии Зинченко с полицейским

СНОБ
От детокса клизмой до распаривания вагины: главные бьюти-скандалы Гвинет Пэлтроу От детокса клизмой до распаривания вагины: главные бьюти-скандалы Гвинет Пэлтроу

Основные бьюти-скандалы вокруг Гвинет Пэлтроу

Cosmopolitan
Деревянный небоскреб, экологически чистый мусоросжигательный завод и еще три самых технологичных здания мира Деревянный небоскреб, экологически чистый мусоросжигательный завод и еще три самых технологичных здания мира

Самые технологичные здания мира

Популярная механика
Верну всё, что и не дарил: звезды, которые с разводом лишились своего бизнеса Верну всё, что и не дарил: звезды, которые с разводом лишились своего бизнеса

Случаи, когда известные женщины лишались бизнеса после развода

Cosmopolitan
Руки прочь от классики! Неудачные попытки переснять советские хиты Руки прочь от классики! Неудачные попытки переснять советские хиты

Истории о том, как продюсеры пересняли советские фильмы и что из этого вышло

Cosmopolitan
Фальшивая весна Фальшивая весна

Почему апрель на календаре не радует, щебет птиц раздражает и не хочется ничего

Добрые советы
Отдых самурая Отдых самурая

Несколько советов для восстановления сил с использованием буддийских практик

Psychologies
«Я усвоил, что кино может рождаться даже в очень непростых обстоятельствах» «Я усвоил, что кино может рождаться даже в очень непростых обстоятельствах»

Режиссер Филипп Юрьев — о съемках «Китобоя» и Венецианском кинофестивале

Esquire
Культурный гид: резиденции и путевые домики Петра I. Часть вторая Культурный гид: резиденции и путевые домики Петра I. Часть вторая

Отправляемся на виртуальную прогулку по зданиям, в которых жил Петр I

Культура.РФ
Ты не поверишь, что у них маленькие глаза! Как 8 звезд Ты не поверишь, что у них маленькие глаза! Как 8 звезд

У звезд не всегда идеально большие и выразительные глаза

Cosmopolitan
Исследование: половина жертв харассмента не борется с агрессорами и не сообщает о них Исследование: половина жертв харассмента не борется с агрессорами и не сообщает о них

Сеть взаимопомощи женщин #ТыНеОдна запустила проект о проблеме харассмента

Forbes
Как выглядят Кардашьян, Версаче и другие звезды после пластических операций Как выглядят Кардашьян, Версаче и другие звезды после пластических операций

Знаменитости до и после пластических операций

Cosmopolitan
Цвет мой, зеркальце Цвет мой, зеркальце

Почему цвет лица может быть серым, красным, синюшным и как его освежить?

Лиза
Пивной алкоголизм у мужчин: чем опасен и как распознать коварного врага Пивной алкоголизм у мужчин: чем опасен и как распознать коварного врага

Последствия злоупотребления пивом и первые признаки алкоголизма

Playboy
Самые забавные конфузы Бузовой, Орбакайте и других звезд у Ивана Урганта Самые забавные конфузы Бузовой, Орбакайте и других звезд у Ивана Урганта

Забавные конфузы в студии шоу «Вечерний Ургант»

Cosmopolitan
Дочерние компании: как занимается бизнесом Ксения Шойгу Дочерние компании: как занимается бизнесом Ксения Шойгу

Ксения Шойгу ведет разнообразные проекты, но многие из них связанны с Минобороны

Forbes
Кровь, боль и никаких слез: Самые дикие мужские инициации всех времен Кровь, боль и никаких слез: Самые дикие мужские инициации всех времен

Почему, чтобы стать мужчиной, иногда нужно как следует пострадать?

Maxim
Китайские физики экспериментально опровергли квантовое превосходство Sycamore Китайские физики экспериментально опровергли квантовое превосходство Sycamore

Алгоритм, который заставляет пересмотреть представления о квантовом ускорении

N+1
Компания Илона Маска вживила в мозг обезьяны чип, чтобы та смогла сыграть в видеоигру силой мысли Компания Илона Маска вживила в мозг обезьяны чип, чтобы та смогла сыграть в видеоигру силой мысли

Стартап Илона Маска Neuralink продемонстрировал последнюю версию интерфейса

Популярная механика
7 лайфхаков, как упростить свой рабочий день 7 лайфхаков, как упростить свой рабочий день

Есть свободная минута? Прочти этот текст, и свободных минут у тебя станет больше

Maxim
Открыть в приложении