Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
Маленькая горбунья, погибшая в огне: кто был прототипом Дюймовочки Маленькая горбунья, погибшая в огне: кто был прототипом Дюймовочки

История девушки-прототипа Дюймовочки

Cosmopolitan
Культурный гид: резиденции и путевые домики Петра I. Часть вторая Культурный гид: резиденции и путевые домики Петра I. Часть вторая

Отправляемся на виртуальную прогулку по зданиям, в которых жил Петр I

Культура.РФ
Очаровательная провинциалка стала гламурной дивой: преображения Натальи Рудовой Очаровательная провинциалка стала гламурной дивой: преображения Натальи Рудовой

Каким был путь Натальи Рудовой к успеху

Cosmopolitan
Вымирающие северные гладкие киты родили 17 детенышей Вымирающие северные гладкие киты родили 17 детенышей

В 2020-2021 годах северные гладкие киты произвели на свет 17 китят

N+1
Стеснительная Шарлотта: самые трогательные снимки детей Кейт Миддлтон и Уильяма Стеснительная Шарлотта: самые трогательные снимки детей Кейт Миддлтон и Уильяма

Герцоги Кембриджские воспитывают троих наследников: Джорджа, Шарлотту и Луи

Cosmopolitan
Как бородатый мужик из России делает приложение для беременных, которым пользуются миллионы женщин по всему миру Как бородатый мужик из России делает приложение для беременных, которым пользуются миллионы женщин по всему миру

Почему мужчина занимается сервисом для беременных AMMA Pregnancy Tracker?

Inc.
7 (не)очевидных признаков, которые многое говорят о человеке 7 (не)очевидных признаков, которые многое говорят о человеке

На что обратить внимание чтобы узнать, что представляет собой знакомый

Psychologies
IPO с нулевой суммой: кто платит за праздник доходностей на рынке первичных размещений IPO с нулевой суммой: кто платит за праздник доходностей на рынке первичных размещений

Откуда берутся эти двузначные показатели доходности за один день

Forbes
О вкусных и здоровых мутантах. Как перестать бояться и полюбить продукты с ГМО О вкусных и здоровых мутантах. Как перестать бояться и полюбить продукты с ГМО

Современная еда вовсе не страшная и не вредная

Maxim
Начните с головы Начните с головы

Почему процедура «Счастье для волос» столько лет не теряет популярности

Glamour
Заговорщики. О новом спектакле «Заговор чувств» в МХТ им. Чехова Заговорщики. О новом спектакле «Заговор чувств» в МХТ им. Чехова

Спектакль «Заговор чувств» по одноименной пьесе Юрия Олеши и роману «Зависть»

СНОБ
Капсулы с ферментом помогли пластику разложиться Капсулы с ферментом помогли пластику разложиться

Поликапролактон с инкапсулированным ферментом можно разложить за 24 часа

N+1
Ваши друзья не пьют алкоголь? Не говорите им эти 7 фраз Ваши друзья не пьют алкоголь? Не говорите им эти 7 фраз

Какие фразы лучше не адресовать трезвеннику на вечеринке?

Psychologies
«Родители заботились обо мне. Почему я чувствую себя нежеланным ребенком?» «Родители заботились обо мне. Почему я чувствую себя нежеланным ребенком?»

Чувствовать себя ребенком, которого отвергли — тяжелое испытание

Psychologies
Эвакуация с Гавайев на материк спасет вымирающих цветочниц от малярии Эвакуация с Гавайев на материк спасет вымирающих цветочниц от малярии

Что позволит спасти цветочниц-попугаеклювов неминуемого исчезновения?

N+1
Стартап Валерия Мифтахова ZeroAvia привлек $24,3 млн от Билла Гейтса, Ли Ка-шина и других инвесторов Стартап Валерия Мифтахова ZeroAvia привлек $24,3 млн от Билла Гейтса, Ли Ка-шина и других инвесторов

Американский стартап ZeroAvia привлек $24,3 млн от Horizons Ventures

Inc.
Топ-10 причин, почему религия полезна для здоровья Топ-10 причин, почему религия полезна для здоровья

Заповеди религий чем-то похожи на советы из стенгазет в поликлиниках

Maxim
«Бедность наследуется»: правда ли это? «Бедность наследуется»: правда ли это?

Обречены ли вы на наследственную бедность и можно ли сломать этот сценарий?

Psychologies
Что делать с ребенком, который дома все отвечает, а из школы приносит одни двойки Что делать с ребенком, который дома все отвечает, а из школы приносит одни двойки

Как победить тревожность у ребенка, не прибегая к ругани и ремню

Maxim
12 глубоководных фактов о Суэцком канале —  главной морской срезке в истории человечества 12 глубоководных фактов о Суэцком канале —  главной морской срезке в истории человечества

Суэцкий канал — место с самыми дорогими пробками в мире

Maxim
4 культовых сериала, которые пересняли 4 культовых сериала, которые пересняли

Сериалы, которым дали второе дыхание: «Друзья», «Доктор Кто» и другие

GQ
10 заблуждений о похмелье 10 заблуждений о похмелье

Смело и по-мужски расстаться и с заблуждениями о похмелье, и с этим состоянием

Maxim
«Таких очень много». Стало известно о машинах, которые не штрафуют камеры «Таких очень много». Стало известно о машинах, которые не штрафуют камеры

Чтобы не платить штрафы с камер, водители ставят подложные номера

РБК
15 мыслей Тимура Бекмамбетова 15 мыслей Тимура Бекмамбетова

Тимур Бекмамбетов о будущем кино и морали искусственного интеллекта

GQ
Диета для планирующих беременность: рекомендации с Востока Диета для планирующих беременность: рекомендации с Востока

Как передать будущему малышу максимум сил и здоровья?

Psychologies
Универсальный, симпатичный и вполне надёжный. Hyundai Creta на вторичном рынке Универсальный, симпатичный и вполне надёжный. Hyundai Creta на вторичном рынке

Что делать тем, кто хочет купить Hyundai Creta на вторичном рынке?

4x4 Club
15 фактов о фильме «Титаник», которые заставят вас взглянуть на него иначе! 15 фактов о фильме «Титаник», которые заставят вас взглянуть на него иначе!

Эти факты о «Титанике» тебе точно были неизвестны

Cosmopolitan
Кто угодно Кто угодно

Новая роль Эммы Стоун — и тренд на реабилитацию кинозлодеев

Glamour
Дворец милосердия Дворец милосердия

Николай Склифосовский никогда не был в стенах учреждения, названного его именем

Караван историй
Открыть в приложении