Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Театр в онлайне: как устроены трансляции спектаклей «Золотой Маски» Театр в онлайне: как устроены трансляции спектаклей «Золотой Маски»

Как устроена трансляция спектаклей «Золотой Маски»

СНОБ
Голодает за Навального и делает из людей веганов. О главном документалисте времени — Викторе Косаковском Голодает за Навального и делает из людей веганов. О главном документалисте времени — Викторе Косаковском

Как в фильмах Виктора Косаковского связаны метод и этика

СНОБ
«Эй, красивая! Поехали с нами!»: что делать, если к вам пристают на улице «Эй, красивая! Поехали с нами!»: что делать, если к вам пристают на улице

Почему мужчины пристают на улицах и как мы можем противостоять такому поведению?

Psychologies
Полина Бондарева Полина Бондарева

Полина Бондарева открыла школу Masters и за 5 лет превратила ее в империю

Собака.ru
Марсоход NASA стал первым, кто добыл кислород из марсианской атмосферы Марсоход NASA стал первым, кто добыл кислород из марсианской атмосферы

Процесс, который может помочь астронавтам основать колонию на Красной планете.

Популярная механика
Чистый со льдом: как прошел тест-драйв кроссовера Genesis GV80 на Байкале Чистый со льдом: как прошел тест-драйв кроссовера Genesis GV80 на Байкале

Бренд Genesis наконец показал российским журналистам свой первый SUV – GV80

Forbes
Сохраняйте самообладание в семейных бурях: 9 способов успокоиться Сохраняйте самообладание в семейных бурях: 9 способов успокоиться

Как вернуть себе спокойствие и не срываться на домашних?

Psychologies
Как справиться с ребенком, если остался с ним наедине Как справиться с ребенком, если остался с ним наедине

Мужчинам сложнее всего обращаться с детьми 1,5–3 лет от роду

Maxim
Кто такие тестировщики? Рассказываем об особенностях профессии Кто такие тестировщики? Рассказываем об особенностях профессии

В чем на самом деле заключается работа профессионалов-тестировщиков?

Популярная механика
Весеннее обострение: миф или реальность? Весеннее обострение: миф или реальность?

Резкие перепады настроения, апатия, нежелание что-либо делать...

Psychologies
Чтобы достичь гармонии, недостаточно убрать хлам со стола. Эксперт назвала 5 видов беспорядка, мешающих жить Чтобы достичь гармонии, недостаточно убрать хлам со стола. Эксперт назвала 5 видов беспорядка, мешающих жить

На перенапряжение и стресс влияет целых 5 видов беспорядка в разных сферах

Inc.
Мужья, дети и отчаянная борьба за жизнь «прекрасной няни» Анастасии Заворотнюк Мужья, дети и отчаянная борьба за жизнь «прекрасной няни» Анастасии Заворотнюк

Анастасия Заворотнюк проделала сложный путь к семейному счастью

Cosmopolitan
Культурный гид: резиденции и путевые домики Петра I. Часть первая Культурный гид: резиденции и путевые домики Петра I. Часть первая

Отправляемся на виртуальную прогулку по зданиям, в которых жил Петр I

Культура.РФ
«Тупая блондинка»: особенности женского бизнеса в России «Тупая блондинка»: особенности женского бизнеса в России

Особенности женского бизнеса в России и почему из-за них он сложнее, чем мужской

Cosmopolitan
Эмоциональный интеллект Эмоциональный интеллект

Новое представление о том, что значит быть «умным»

kiozk originals
Момент истины: можно ли есть яйца каждый день Момент истины: можно ли есть яйца каждый день

Сколько яиц можно есть в неделю без вреда для здоровья?

Cosmopolitan
Гороскоп защитников. Кто твоя каменная стена? Гороскоп защитников. Кто твоя каменная стена?

Проверь, соответствует ли твой защитник этому солидному статусу!

Cosmopolitan
В Мексике нашли остатки пирамиды времен образования ацтекской империи В Мексике нашли остатки пирамиды времен образования ацтекской империи

Найден артефакт ацтекской империи

N+1
Владелец обувного бренда Doucal's — о ручной работе и письме из Ватикана Владелец обувного бренда Doucal's — о ручной работе и письме из Ватикана

Джанни Джаннини рассказал о различиях между английской и итальянской обувью

РБК
«У тебя будет братик»: как мы готовим дочку к рождению второго ребенка «У тебя будет братик»: как мы готовим дочку к рождению второго ребенка

Как подготовиться к рождению второго ребенка?

Psychologies
Весомый аргумент Весомый аргумент

Если вы худеете, но вес не уходит, дело может быть не в диете, а в психологии

Добрые советы
Истребитель дронов Истребитель дронов

За разведывательными дронами начнут охотиться беспилотные истребители

Популярная механика
10 астрономических открытий, сделанных любителями 10 астрономических открытий, сделанных любителями

Иногда для того, чтобы сделать открытие, нужен только любительский телескоп

Популярная механика
Памперсы, мочегонные, пилинги и шлифовка: как звезды готовятся к «Оскару» Памперсы, мочегонные, пилинги и шлифовка: как звезды готовятся к «Оскару»

Кинопремия «Оскар» — самое важное событие для всех обитателей Голливуда

Cosmopolitan
Калифорния по-лондонски: каким получился «Гнев человеческий» Гая Ричи Калифорния по-лондонски: каким получился «Гнев человеческий» Гая Ричи

«Гнев человеческий» Гая Ричи — ремейк французского триллера «Инкассатор»

РБК
Неравный брак: кто моет посуду, если муж зарабатывает больше Неравный брак: кто моет посуду, если муж зарабатывает больше

Тот, кто зарабатывает больше, имеет право на отдых?

Psychologies
Что посмотреть вместо лауреатов «Оскара-2021» Что посмотреть вместо лауреатов «Оскара-2021»

Фильмы Оскара-2021 смотреть тяжело: вот лучшие альтернативы номинантам

Maxim
Как устроены кинотеатры IMAX? Как устроены кинотеатры IMAX?

Многие были в кинотеатрах IMAX, но не все знают, что это, собственно, означает

Популярная механика
«Очаровательный и забавный принц!»: как Меган Маркл влюбилась в Гарри «Очаровательный и забавный принц!»: как Меган Маркл влюбилась в Гарри

Как началась любовь младшего сына принцессы Дианы и Меган Маркл

Cosmopolitan
Открыть в приложении