Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Когда возраст имеет значение Когда возраст имеет значение

Модный тренд есть молодые продукты

Худеем правильно
Наталия Киселева — о том, как меняется Московская электронная школа и столичное образование Наталия Киселева — о том, как меняется Московская электронная школа и столичное образование

Об уроках пандемии и новом опыте организации обучения

СНОБ
35 лет аварии на Чернобыльской АЭС. Как катастрофа на атомной станции отражена в поп-культуре — кино, сериалах и играх 35 лет аварии на Чернобыльской АЭС. Как катастрофа на атомной станции отражена в поп-культуре — кино, сериалах и играх

Список произведений о чернобыльской трагедии

Esquire
У стареющих звёзд оказалась необычно высокая скорость вращения У стареющих звёзд оказалась необычно высокая скорость вращения

В прошлом потеря скорости считалась незыблемым свойством звёзд, но это не так

Популярная механика
Девушки в восторге! Брэд Питт, Деревянко и другие мачо, работавшие в стриптизе Девушки в восторге! Брэд Питт, Деревянко и другие мачо, работавшие в стриптизе

Актеры, которые до популярности попробовали себя в жанре приватных танцев

Cosmopolitan
Не лучше плацебо: ученые утверждают, что парацетамол не работает Не лучше плацебо: ученые утверждают, что парацетамол не работает

Правда ли, что парацетамол не эффективен

Cosmopolitan
Почему гиалуроновая кислота так популярна и как она работает Почему гиалуроновая кислота так популярна и как она работает

Косметолог: как с помощью гиалуроновой кислоты сделать кожу здоровее и красивее

РБК
15 мыслей Тимура Бекмамбетова 15 мыслей Тимура Бекмамбетова

Тимур Бекмамбетов о будущем кино и морали искусственного интеллекта

GQ
Как быть вегетарианцем в мире животных Как быть вегетарианцем в мире животных

Маркус Уикс «Что бы сказал Ницше. Как великие философы решили бы ваши проблемы»

СНОБ
Марсоход Perseverance извлек кислород из атмосферы Красной планеты Марсоход Perseverance извлек кислород из атмосферы Красной планеты

Шестиколесный робот-марсоход Perseverance извлек из атмосферы Марса кислород

Forbes
Главное – успеть Главное – успеть

Летнее путешествие мечты, которое нужно бронировать прямо сейчас

Лиза
Тайный сын: муж скрывал от меня рождение ребенка Тайный сын: муж скрывал от меня рождение ребенка

Измена — большое испытание в жизни пары

Psychologies
Штраф за щедрость: кто самый богатый бизнесмен в мире с учетом трат на благотворительность Штраф за щедрость: кто самый богатый бизнесмен в мире с учетом трат на благотворительность

Их богатства — не деньги в банке, а их компании, которым нужно развиваться

Forbes
Очаровашки! Как выглядят дочери Заворотнюк, Хилькевич и других российских актрис Очаровашки! Как выглядят дочери Заворотнюк, Хилькевич и других российских актрис

Звезды популярных фильмов и сериалов стали успешными мамами

Cosmopolitan
Еще пять известных вещей, которых никогда на самом деле не существовало Еще пять известных вещей, которых никогда на самом деле не существовало

Вещи, которые, по убеждению большинства, существовали, а на самом деле — нет

Maxim
Каким было самое первое животное на Земле и почему об этом так долго спорят Каким было самое первое животное на Земле и почему об этом так долго спорят

Претендент на звание самой древней ветви жизни, все это время обманывал нас

Популярная механика
7 фактов, которые мужчины должны знать о женщинах 7 фактов, которые мужчины должны знать о женщинах

Что женщины считают важным донести до мужчин

Men’s Health
Минус 50 и даже 100 кг: фото российских звезд в максимальном и минимальном весе Минус 50 и даже 100 кг: фото российских звезд в максимальном и минимальном весе

Звезды, которые взяли себя в руки и скинули всё лишнее. Ну или почти всё

Cosmopolitan
Когда мутит и болит голова: 6 секретных напитков, облегчающих мигрень Когда мутит и болит голова: 6 секретных напитков, облегчающих мигрень

Таблеток нет под рукой, и кажется, что голова квадратная. Что делать?

Playboy
Что, если не Марс? Что, если не Марс?

Куда можно «переехать» в пределах Солнечной системы

РБК
Девять мужей и 99 лет: удивительная история актрисы Жа Жа Габор Девять мужей и 99 лет: удивительная история актрисы Жа Жа Габор

Актриса Жа Жа Габор вошла в историю не только благодаря кино

Cosmopolitan
Реновация «Оскара» удалась на оценку 2+ Реновация «Оскара» удалась на оценку 2+

Спецкор MAXIM смотрел церемонию «Оскар-2021» и будет жалеть об этом всю жизнь

Maxim
Летные испытания американской гиперзвуковой ракеты ARRW прошли неудачно Летные испытания американской гиперзвуковой ракеты ARRW прошли неудачно

Сценарий произошедшего напоминает прошлогодние испытания ракеты HAWC

N+1
Желтый уровень опасности Желтый уровень опасности

Что означает тревожное объявление о желтом уровне опасности в твоем городе

Cosmopolitan
Как не поправиться на майские, но при этом есть шашлык: лайфхаки от диетолога Как не поправиться на майские, но при этом есть шашлык: лайфхаки от диетолога

Лишние килограммы не повод отказываться от шашлыков

Cosmopolitan
Игровое кино: какие технологии помогли Бекмамбетову снять блокбастер Игровое кино: какие технологии помогли Бекмамбетову снять блокбастер

Тимур Бекбамбетов — о технологиях, использованных на съемках фильма «Девятаев»

Популярная механика
«Майор Гром»: почему надо смотреть фильм про питерского супергероя «Майор Гром»: почему надо смотреть фильм про питерского супергероя

«Майор Гром» – полнометражный фильм про героя в ретрокепке

Cosmopolitan
Неизвестная катастрофа, изменившая облик Северной Америки Неизвестная катастрофа, изменившая облик Северной Америки

Когда на Земле был единичный катастрофический космогенный процесс

Наука и жизнь
0% жирности 0% жирности

Современные методы избавиться от лишнего жира на лице и теле

Добрые советы
Открыть в приложении