Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
«Родители заботились обо мне. Почему я чувствую себя нежеланным ребенком?» «Родители заботились обо мне. Почему я чувствую себя нежеланным ребенком?»

Чувствовать себя ребенком, которого отвергли — тяжелое испытание

Psychologies
5 экотехнологий для покорителей космоса 5 экотехнологий для покорителей космоса

Технологии, благодаря которым космос становится ближе

РБК
Немецкий краевед собрал «арсенал» испорченного кельтами оружия Немецкий краевед собрал «арсенал» испорченного кельтами оружия

Немецкий энтузиаст нашел испорченное оружие железного века

N+1
Кого заменит робот: пора ли начинать увольнять сотрудников Кого заменит робот: пора ли начинать увольнять сотрудников

Можно автоматизировать рутинные бизнес-процессы, но нельзя — креативные

Forbes
Отрезали и забыли: звезды, которые коротко постриглись и не жалеют об этом Отрезали и забыли: звезды, которые коротко постриглись и не жалеют об этом

Расстаться с длинными волосами – это всегда тяжело

Cosmopolitan
Артем Карасев: «Романтика нас обогащает» Артем Карасев: «Романтика нас обогащает»

В новой мелодраме «Красота небесная» Артему Карасеву досталась роль пилота

Лиза
Сутки за час: найдено трио коричневых карликов, вращающихся с невероятной скоростью Сутки за час: найдено трио коричневых карликов, вращающихся с невероятной скоростью

Возможно, у «несостоявшихся звезд» есть встроенное ограничение скорости

Популярная механика
Российские химики создали самый маленький флуороген-активирующий белок Российские химики создали самый маленький флуороген-активирующий белок

Российские ученые изучили структуру одного флуороген-активирующего белка

N+1
Что делать, если не помогает психотерапия? Записаться на бокс Что делать, если не помогает психотерапия? Записаться на бокс

Ничего не хочется? Нужно записаться на бокс

GQ
Из приюта для бездомных — в модный дом: как Саманта Франц заработала $4 млн на спортивных костюмах Из приюта для бездомных — в модный дом: как Саманта Франц заработала $4 млн на спортивных костюмах

Как Саманта Франц нашла собственную нишу и осталась в плюсе

Forbes
Первому игроку приготовиться Первому игроку приготовиться

Два сильнейших персонажей из мира киберспорта

Esquire
Восстановление после родов: 5 советов, чтобы прийти в форму и не сойти с ума Восстановление после родов: 5 советов, чтобы прийти в форму и не сойти с ума

Разбираемся, как и когда правильно восстанавливаться после родов

Cosmopolitan
Зоологи объяснили маленькость зайцев и пищух Зоологи объяснили маленькость зайцев и пищух

Зоологи: зайцы имеют маленький размер из-за конкуренции с копытными

N+1
Я влюбилась, и не в мужа: личный опыт психолога Я влюбилась, и не в мужа: личный опыт психолога

Возможно, эта история спасет и ваш брак

Psychologies
Что такое «Крабик» и как он может спасти процессы в вашей команде Что такое «Крабик» и как он может спасти процессы в вашей команде

«Крабик» — это фреймворк способ изучить структуру системы и усовершенствовать ее

Популярная механика
Данные претендентов на кредиты «Дом.РФ» утекли в интернет Данные претендентов на кредиты «Дом.РФ» утекли в интернет

Более 100 000 записей с данными «Дом.РФ» выставили на продажу в интернете

Forbes
Муравьиная кислота помогла солнечным элементам стать эффективней и стабильней Муравьиная кислота помогла солнечным элементам стать эффективней и стабильней

Ионы формиата заполняют вакансии иода на границе перовскитных кристаллов

N+1
7 лайфхаков, как упростить свой рабочий день 7 лайфхаков, как упростить свой рабочий день

Есть свободная минута? Прочти этот текст, и свободных минут у тебя станет больше

Maxim
Одна вокруг света: землетрясение, «Аллея славы» и знаки судьбы Одна вокруг света: землетрясение, «Аллея славы» и знаки судьбы

114-я серия о кругосветном путешествии москвички Ирины Сидоренко и ее собаки

Forbes
Жаришь или отжигаешь? Как знаки зодиака отдыхают на майских шашлыках Жаришь или отжигаешь? Как знаки зодиака отдыхают на майских шашлыках

Наш Магический шар рассказывает, как именно ты обычно отдыхаешь в праздники

Cosmopolitan
Летные испытания американской гиперзвуковой ракеты ARRW прошли неудачно Летные испытания американской гиперзвуковой ракеты ARRW прошли неудачно

Сценарий произошедшего напоминает прошлогодние испытания ракеты HAWC

N+1
Снять стресс за минуту: 6 коротких медитаций Снять стресс за минуту: 6 коротких медитаций

Медитация — один из самых эффективных и доступных способов борьбы со стрессом

Psychologies
Кто такие инфоцыгане, или Эффект доктора Фокса Кто такие инфоцыгане, или Эффект доктора Фокса

Как и почему мы попадаемся на крючок псевдоэкспертов?

Psychologies
Как выглядели звездные красотки Муцениеце, Асмус и другие в своих первых фильмах Как выглядели звездные красотки Муцениеце, Асмус и другие в своих первых фильмах

Чтобы добиться популярности, им пришлось сыграть много ролей

Cosmopolitan
6 неожиданных вещей, которые отталкивают мужчин 6 неожиданных вещей, которые отталкивают мужчин

Что же это за проступки против сексуальности, о которых сразу и не догадаешься?

Cosmopolitan
15 богатейших семей Кремля и Белого дома — 2021 15 богатейших семей Кремля и Белого дома — 2021

15 самых богатых семей чиновников администрации президента за 2021 год

Forbes
Чарующие красотки! Как выглядят дочери Климовой, Заворотнюк и других актрис Чарующие красотки! Как выглядят дочери Климовой, Заворотнюк и других актрис

Наследницы телезвезд выросли настоящими красавицами

Cosmopolitan
Современная красота: 10 шагов к тому, чтобы стать такой же, как все Современная красота: 10 шагов к тому, чтобы стать такой же, как все

Хочешь стать такой же, как все?

Cosmopolitan
Как мужчины покоряют рынок NFT Как мужчины покоряют рынок NFT

The Weeknd, Эминем и Пеле внесли свою лепту в развитие новой цифровой технологии

GQ
Открыть в приложении