Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Кто лучшая императрица? Орбакайте, Снигирь и другие звезды в образе Екатерины II Кто лучшая императрица? Орбакайте, Снигирь и другие звезды в образе Екатерины II

У кого из актрис получилось лучше воплотить образ Екатерины II

Cosmopolitan
5 признаков того, что для другого вы лишь запасной вариант 5 признаков того, что для другого вы лишь запасной вариант

Что делать, если вы не можете понять, на какой стадии ваши отношения

Psychologies
Когда глаза устали и хотят на ручки: 6 способов избавиться от компьютерного синдрома Когда глаза устали и хотят на ручки: 6 способов избавиться от компьютерного синдрома

Что делать с уставшими глазами?

Playboy
Конец «эпохи poker face» и плавучие города: в каком мире мы будем жить через 10 лет Конец «эпохи poker face» и плавучие города: в каком мире мы будем жить через 10 лет

Футурологи: как изменится наш мир в ближайшие 10―15 лет

Forbes
Правда ли, что завтрак — самый важный прием пищи Правда ли, что завтрак — самый важный прием пищи

Одни не представляют начало дня без завтрака, другие даже не могут выпить чай

Популярная механика
Кино, плед, мороженое: 10 сериалов, которые нужно смотреть одной! Кино, плед, мороженое: 10 сериалов, которые нужно смотреть одной!

Эти сериалы о женщинах лучше смотреть в одиночестве

Cosmopolitan
Сознание — сила Сознание — сила

Медитация. Что это за практика, в чем причина ее популярности и нужна ли она вам

GQ
Развод и девичья фамилия? Развод и девичья фамилия?

Разбираемся, надо ли прекратить отношения или над ними стоит поработать

Лиза
«Ребенок бы мне мешал»: звезда сериала «Склифосовский» сделала два аборта «Ребенок бы мне мешал»: звезда сериала «Склифосовский» сделала два аборта

Ирина Основина поделилась подробностями личной жизни

Cosmopolitan
Теневой киномагнат: как бизнесмен из США переосмыслил стриминг и конкурирует с Netflix Теневой киномагнат: как бизнесмен из США переосмыслил стриминг и конкурирует с Netflix

Chicken Soup For The Soul Entertainment поглощает мелкие стриминговые сервисы

Forbes
Коктейльная карта: история классического коктейля «Френч 75» на джине Коктейльная карта: история классического коктейля «Френч 75» на джине

История коктейля «Френч 75»

Esquire
6 техник, которые помогут расшифровать сигналы бессознательного 6 техник, которые помогут расшифровать сигналы бессознательного

Обязательно ли идти к психоаналитику, чтобы расшифровать свое бессознательное?

Psychologies
История о том, как 15 кораблей застряли в Суэцком канале на 8 лет История о том, как 15 кораблей застряли в Суэцком канале на 8 лет

Как в Суэцком канале несколько сотен человек стояли в самой долгой пробке

Maxim
Отличный секс, кошмарный партнер Отличный секс, кошмарный партнер

Есть ли шанс на хороший секс у людей в здоровых, надежных отношениях

СНОБ
Девять мужей и 99 лет: удивительная история актрисы Жа Жа Габор Девять мужей и 99 лет: удивительная история актрисы Жа Жа Габор

Актриса Жа Жа Габор вошла в историю не только благодаря кино

Cosmopolitan
Маугли из концлагеря. Как сбежать из Северной Кореи, если тебе не повезло в ней родиться Маугли из концлагеря. Как сбежать из Северной Кореи, если тебе не повезло в ней родиться

Единственный человек, которому удалось сбежать из северокорейского концлагеря

Maxim
История становления Instagram на основе книги “No Filter”: от создания до сделки с Facebook и ухода основателей История становления Instagram на основе книги “No Filter”: от создания до сделки с Facebook и ухода основателей

Выжимка книги журналистки Bloomber Сары Фрайер «No Filter. История Instagram»

VC.RU
Кто такие инфоцыгане, или Эффект доктора Фокса Кто такие инфоцыгане, или Эффект доктора Фокса

Как и почему мы попадаемся на крючок псевдоэкспертов?

Psychologies
Неизвестная физика: ученые подтвердили наблюдаемое нарушение Стандартной модели Неизвестная физика: ученые подтвердили наблюдаемое нарушение Стандартной модели

Российские физики рассказали о несовершенстве хорошо знакомой Стандартной модели

Популярная механика
День Земли: что это такое, и как его “отпраздновать” День Земли: что это такое, и как его “отпраздновать”

Если вы никогда не слышали про День Земли, то приготовьтесь наверстать упущенное

Популярная механика
11 секретов Джеффа Безоса 11 секретов Джеффа Безоса

11 вещей, которым каждому предпринимателю стоит поучиться у Джеффа Безоса

Inc.
10 самых красивых актрис российских сериалов 10 самых красивых актрис российских сериалов

10 актрис отечественных сериалов, которые завоевали сердца всех телезрителей

Cosmopolitan
После двух неудачных попыток орнитологи представили новый план возвращения ворон на Гавайи После двух неудачных попыток орнитологи представили новый план возвращения ворон на Гавайи

Ученые нашли новый способ вернуть гавайских ворон в место их обитания

N+1
Депрессию и биполярное расстройство предложили диагностировать по анализу крови Депрессию и биполярное расстройство предложили диагностировать по анализу крови

Биомаркеры, которые позволят диагностировать депрессию и биполярное расстройство

N+1
Чувственность зашкаливает! Самые страстные поцелуи звезд на «Оскаре» Чувственность зашкаливает! Самые страстные поцелуи звезд на «Оскаре»

Кинозвездам сложно сдержать эмоции, когда весь мир признает их триумф

Cosmopolitan
Древнейшую британскую солеварню соорудили неолитические переселенцы с континента Древнейшую британскую солеварню соорудили неолитические переселенцы с континента

Соляной промысел в Северном Йоркшире возник в начале IV тысячелетия до нашей эры

N+1
Автор фильма «Дуров» Родион Чепель — о том, как снять фильм о герое без героя и чем документалка отличается от блогерского репортажа Автор фильма «Дуров» Родион Чепель — о том, как снять фильм о герое без героя и чем документалка отличается от блогерского репортажа

Родион Чепель — о взаимодействии с главным героем его фильма «Дуров»

Esquire
«Почему у меня с мужем всё в порядке?» Секреты личной жизни Татьяны Навки «Почему у меня с мужем всё в порядке?» Секреты личной жизни Татьяны Навки

Интересные моменты яркой жизни Татьяны Навки

Cosmopolitan
Ученые рассказали, что такое «иллюзия творческого обрыва» и почему она мешает принимать лучшие решения Ученые рассказали, что такое «иллюзия творческого обрыва» и почему она мешает принимать лучшие решения

После мозгового штурма становится все труднее и труднее генерировать новые идеи

Inc.
Открыть в приложении