История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Мертвые дети, неравенство и травмы Мертвые дети, неравенство и травмы

Настоящий мир вымышленного Питера Пэна

Weekend
Еврейский транзит Еврейский транзит

О спецоперации, в которой участвовали гестапо, НКВД и японские спецслужбы

Огонёк
Главными проблемами малого и среднего бизнеса стали дефицит кадров и инфляция Главными проблемами малого и среднего бизнеса стали дефицит кадров и инфляция

Доля предпринимателей, не сталкивающихся с трудностями, в 2025 году упала до 14%

Forbes
Новые миры Новые миры

Юбилей высадки на Луну – повод задуматься, куда и зачем мы можем полететь еще

Популярная механика
Очень странные дела Очень странные дела

Какие бьюти-тренды из соцсетей искренне настораживают косметологов

Лиза
Эрдоган зажат между интересами США и Британии Эрдоган зажат между интересами США и Британии

Политический кризис в Турции может серьезно встряхнуть государство и регион

Монокль
В Португалии нашли выгравированные в эпоху верхнего палеолита фигуры животных В Португалии нашли выгравированные в эпоху верхнего палеолита фигуры животных

Археологи обнаружили в Португалии новые произведения палеолитического искусства

N+1
Зарплатно-гендерный вопрос Зарплатно-гендерный вопрос

Удовлетворенность размером зарплаты среди мужчин и женщин практически сравнялась

Ведомости
Синдром саванта: что это, симптомы и причины возникновения Синдром саванта: что это, симптомы и причины возникновения

Сочетание отставания в развитии и гениальности — редкое, но популярное явление

Psychologies
Дворянская честь и закон. Отрывок из книги «Когда велит совесть» Дворянская честь и закон. Отрывок из книги «Когда велит совесть»

Что предшествовало судебной реформе 1864 года

СНОБ
Мюзикальная сказка Стамбула Мюзикальная сказка Стамбула

Увидеть дворец султана Сулеймана, колоритный восточный базар и величие Босфора

ЖАРА Magazine
Себя посмотреть Себя посмотреть

Самые важные открытия, которые я сделал, связаны с кухней родного края

Bones
«Совмещение абсолютно несоединимых вещей — это стиль режиссера Ромы Михайлова» «Совмещение абсолютно несоединимых вещей — это стиль режиссера Ромы Михайлова»

«Жар-птица» — одна из самых необычных российских кинопремьер

Weekend
Лариса Долина: «Я всегда верила в то, что моя звезда загорится» Лариса Долина: «Я всегда верила в то, что моя звезда загорится»

Лариса Долина не скрывает – в своей жизни она столкнулась со многими трудностями

Добрые советы
Партнер-провокатор: что стоит за его манипуляциями и как реагировать правильно Партнер-провокатор: что стоит за его манипуляциями и как реагировать правильно

Как вычислить манипуляцию провокацией и как правильно реагировать на нее

Psychologies
Рынок логистики вступил в полосу невезения Рынок логистики вступил в полосу невезения

Российская логистическая отрасль встревожена спадом активности клиентов

Монокль
Есть контакт! От клеточной адгезии к нетоксичной терапии рака Есть контакт! От клеточной адгезии к нетоксичной терапии рака

Есть ли вещества, которые могут содействовать здоровой адгезии при лечении рака?

Наука и жизнь
Гормональные качели Гормональные качели

Почему у беременных бывают перепады настроения, как взять под контроль эмоции?

Лиза
Выяснилось, что микропластик вызывает резистентность к 4 видам антибиотиков Выяснилось, что микропластик вызывает резистентность к 4 видам антибиотиков

Микропластик активно помогает бактериям развивать устойчивость к лекарствам

Inc.
Восстановление машин Восстановление машин

Какие факторы подрывают положительное влияние роста машиностроения

Ведомости
Едва знакомы Едва знакомы

«Едва знакомы» — проект, объединяющий людей за киноужинами

Seasons of life
Природа вещей Природа вещей

Растения всегда интересовали Нину Самохину, и она решила создать бренд

Новый очаг
Гоша Куценко: «Трудно должно быть всегда» Гоша Куценко: «Трудно должно быть всегда»

Гоша Куценко — о Будённом, лишних 12 кг и жизни после кино

Ведомости
Чистые помыслы Чистые помыслы

Какие существуют альтернативы традиционному дизельному топливу для яхт?

Y Magazine
Талант грани Талант грани

Катя Грань занимается керамикой почти десять лет, ее вазы — часть природы

Seasons of life
5 фильмов, без которых невозможно представить советский киноавангард 5 фильмов, без которых невозможно представить советский киноавангард

Пять кинолент, которые станут проводниками в мир авангардного кино

СНОБ
Ах, какие ножки! Ах, какие ножки!

7 способов избежать варикоза

Лиза
По ком стучит барабан По ком стучит барабан

«Обезьяна» — причудливый хоррор, вдохновленный рассказом Стивена Кинга

Weekend
Надежда Бабкина: «У меня нет времени на зависть» Надежда Бабкина: «У меня нет времени на зависть»

Надежда Бабкина — о возрасте, внуках и критике

Лиза
Открыть в приложении