История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Образ дьявола как политический инструмент Образ дьявола как политический инструмент

Как Израиль остановил революцию в Иране

Монокль
Путешествуя с Чичиковым, Татьяной Лариной и другими героями русской классики Путешествуя с Чичиковым, Татьяной Лариной и другими героями русской классики

На чём ездили люди до изобретения двигателя внутреннего сгорания

Наука и жизнь
«Черный квадрат» раздора «Черный квадрат» раздора

Краткая история главной картины ХХ века

Weekend
Зеркало для пророка Зеркало для пророка

Кем оказывается русский вне России — версия Андрея Тарковского

Weekend
Заполняя белые места на карте Заполняя белые места на карте

Некоторые ключевые вехи экспедиционной истории РГО

Вокруг света
Антиоксиданты: зачем они нужны и где их искать Антиоксиданты: зачем они нужны и где их искать

Какие продукты стоит внести в меню, чтобы поддерживать тело в тонусе?

Правила жизни
Как сахар влияет на клеточное старение и разрушает коллаген: данные исследований Как сахар влияет на клеточное старение и разрушает коллаген: данные исследований

Почему сахар провоцирует воспаления клеток?

ТехИнсайдер
Типы старения лица и кожи: какие бывают и как их определить Типы старения лица и кожи: какие бывают и как их определить

Какие типы старения лица и организма существуют?

РБК
«Ким Ир Сен: Вождь по воле случая» «Ким Ир Сен: Вождь по воле случая»

Как будущий правитель КНДР стал партизаном

N+1
Счастье незавершенного гештальта Счастье незавершенного гештальта

Что помогает осознать предназначение и как оно создает нас?

Psychologies
«Что знает Мариэль?»: зачем колкое драмеди меняет местами детей и родителей «Что знает Мариэль?»: зачем колкое драмеди меняет местами детей и родителей

Как «Что знает Мариэль?» по-новому рассматривает детско-родительские отношения

Forbes
Нина Гребешкова: «Лёня на меня действовал магически» Нина Гребешкова: «Лёня на меня действовал магически»

В его присутствии мне хотелось быть умнее. Не хохотать без особой причины

Караван историй
Как заснуть буквально за минуту: способ, который все мы бессознательно используем Как заснуть буквально за минуту: способ, который все мы бессознательно используем

Как помочь своему организму заснуть?

Maxim
Летчик, моряк, трудоголик и муж. Жизнь принца Филиппа — в фактах и фотографиях Летчик, моряк, трудоголик и муж. Жизнь принца Филиппа — в фактах и фотографиях

История жизни одного из самых трудолюбивых членов британской монаршей семьи

Правила жизни
Банки из доставки Банки из доставки

Маркетплейсы бросают вызов традиционным кредитным организациям

Деньги
Борьба с прогулами Борьба с прогулами

Антикоррупционные инициативы Андропова советские граждане встретили на «ура»

Дилетант
Анна Бернштейн и Анна Кранк Анна Бернштейн и Анна Кранк

Анна Кранк и Анна Бернштейн — супергероини русского тейлоринга

Собака.ru
Дар моря Дар моря

Креветки в панцире, похожем на черепицу, у рыбы корвины русалочий хвост

Seasons of life
Вячеслав Фетисов: «Пятьдесят процентов моего успеха — моя жена» Вячеслав Фетисов: «Пятьдесят процентов моего успеха — моя жена»

То, что ей пришлось пережить со мной, мало какая жена выдержит!

Коллекция. Караван историй
Такие важные слова Такие важные слова

Беседа с Анной Ладыгиной, психологом Московской службы психологической помощи

Лиза
Как добавление специй может помочь сократить потребление пищи Как добавление специй может помочь сократить потребление пищи

Хотите сократить потребление калорий, не чувствуя себя обделенным?

ТехИнсайдер
Условия победы в гонке за технологиями: инструменты и подходы Условия победы в гонке за технологиями: инструменты и подходы

Что необходимо для победы в технологической гонке? Отвечают эксперты и аналитики

ФедералПресс
Как принудительные браки становятся способом избежать уголовного наказания Как принудительные браки становятся способом избежать уголовного наказания

Как традиции позволяют преступникам избежать ответственности через браки

Forbes
Музыкальный класс Музыкальный класс

Многое в концертной жизни впервые произошло в Филармоническом обществе

СНОБ
Сделано с душой Сделано с душой

Эта уютная квартира — новая, но у неё уже есть своя интересная история

Идеи Вашего Дома
«Мадагаскару» — 20! Как создавалась мультфраншиза, заработавшая миллиарды и разлетевшаяся на мемы «Мадагаскару» — 20! Как создавалась мультфраншиза, заработавшая миллиарды и разлетевшаяся на мемы

«Мадагаскар»: след в истории и головокружительный успех

Правила жизни
Михаил Чертищев и Betsy Михаил Чертищев и Betsy

Большой разговор о большом таланте с Михаилом и Светланой Чертищевыми

Собака.ru
Даниил Шульгин Даниил Шульгин

Шуля (Даниил Шульгин) — кофаундер панк-бренда Stenosis

Собака.ru
«Я расплакалась, когда смотрела это видео с мужем»: Юлия Топольницкая рассказала, как ее поразил Игорь Чехов «Я расплакалась, когда смотрела это видео с мужем»: Юлия Топольницкая рассказала, как ее поразил Игорь Чехов

Юлия Топольницкая о секретах семейной жизни с актером и шоуменом Игорем Чеховым

VOICE
Открыть в приложении