История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Есть на что строить Есть на что строить

Зачем создавать отдельный механизм финансирования — инфраструктурные облигации?

Монокль
А нос и ныне там А нос и ныне там

Что стало с нашими носами и другие интересные факты о искусстве обоняния

Maxim
Утерянный 5000 лет назад: ученые воскресили древнейший в мире синтетический краситель. Зачем он нужен? Утерянный 5000 лет назад: ученые воскресили древнейший в мире синтетический краситель. Зачем он нужен?

Откуда взялся яркий, насыщенный синий цвет в Древнем Египте

Inc.
Осмий: тяжёлый, дорогой и совсем не пчела Осмий: тяжёлый, дорогой и совсем не пчела

Элемент с самой высокой плотностью

Наука и жизнь
JALAGONIA: «Мой первый альбом написан от души, вы это почувствуете» JALAGONIA: «Мой первый альбом написан от души, вы это почувствуете»

JALAGONIA за 21 год уже прошла большой творческий путь

ЖАРА Magazine
Жаркое лето в Сибири Жаркое лето в Сибири

Природный отдых у города: почему стоит поехать в Новосибирск летом

Отдых в России
Как мужчины разрушают нашу самооценку: что делать и как дать отпор Как мужчины разрушают нашу самооценку: что делать и как дать отпор

Как неосторожные слова и поступки мужчин могут подрывать нашу самооценку

VOICE
Компьютерное зрение: когда роботы перестали тыкать пальцем в небо? Компьютерное зрение: когда роботы перестали тыкать пальцем в небо?

Зачем нужно компьютерное зрение и какие задачи оно решает в разных сферах

Наука и техника
На аллеях Аполлона На аллеях Аполлона

Остафьево: образ места, где всё буквально дышит поэзией

Знание – сила
Шоураннеры «Фишера»: Человек любит смотреть в кино на что-то ужасное Шоураннеры «Фишера»: Человек любит смотреть в кино на что-то ужасное

Создатели «Фишера» — о том, как луна-парк стал главным референсом мира сериала

Ведомости
Белеет парус на болоте Белеет парус на болоте

Чем так уникален нерукотворный природный парус — белокрыльник болотный?

Наука и жизнь
«Речная королева Алтая»: как Евдокия Мельникова управляла судоходным делом в XIX веке «Речная королева Алтая»: как Евдокия Мельникова управляла судоходным делом в XIX веке

Как Евдокия Мельникова стала ориентиром для многих судовладельцев XIX века

Forbes
Активный сезон Активный сезон

Самые классные и полезные летние развлечения

Лиза
Самый секретный агент Самый секретный агент

Из чего сделан мир Джеймса Бонда Яна Флеминга

Weekend
Любовь к животным и санкции Любовь к животным и санкции

Почему рынок кормов — перспективное направление для инвестиций

Агроинвестор
Правило рецидивиста Правило рецидивиста

Норма, именуемая сегодня «Правилом Миранды», существовала далеко не всегда

Дилетант
Болотные семафоры Болотные семафоры

Дупеля летят к нам из жарких поясов экваториальной Африки...

Наука и жизнь
50 лет исследований показали: эти 4 ошибки разрушают брак 50 лет исследований показали: эти 4 ошибки разрушают брак

Четыре стратегии общения, которые могут привести к расставаниям и разводам

Inc.
«В России гость за 150 рублей ждет вкус, как в Мельбурне, и сервис, как в Токио. И получает это» «В России гость за 150 рублей ждет вкус, как в Мельбурне, и сервис, как в Токио. И получает это»

Легко ли миллениалу делать кофейный бизнес в России

Монокль
Не «принеси кофе», а интересные задачи: как привлечь в компанию молодых IT-специалистов Не «принеси кофе», а интересные задачи: как привлечь в компанию молодых IT-специалистов

Почему компании активно приглашают на стажировки студентов?

Inc.
6 бытовых привычек, из-за которых в доме плохо пахнет 6 бытовых привычек, из-за которых в доме плохо пахнет

Некоторые из этих вещей вы совершаете ежедневно, а они влияют на запах в доме

ТехИнсайдер
Сбежать от рутины Сбежать от рутины

С потеплением всё больше людей сбегают от забот — в прямом и переносном смысле

Отдых в России
Борьба с прогулами Борьба с прогулами

Антикоррупционные инициативы Андропова советские граждане встретили на «ура»

Дилетант
Палеонтологи СПбГУ проследили эволюцию мозга крокодилов Палеонтологи СПбГУ проследили эволюцию мозга крокодилов

Ученые создали 3D-модель мозга древних параллигаторов

Знание – сила
Горят ли окна в министерстве обороны? Горят ли окна в министерстве обороны?

Чем так напугали Кремль «американские военные планы»?

Дилетант
Ну и дела… Ну и дела…

Считается, что нашумевшее в свое время «рыбное дело» началось с казуса...

Дилетант
Удивительный трубкозуб Удивительный трубкозуб

Ожившей химерой с прошедших веков трубкозуба, шутя, обзывают

Знание – сила
Земля Султана Земля Султана

Путешествие с певцом Султаном Лагучевым по его родине — Карачаево-Черкесии

ЖАРА Magazine
Три бизнес-ошибки основателя сервиса доставки «Ниндзя Гудс» Три бизнес-ошибки основателя сервиса доставки «Ниндзя Гудс»

Основатель «Ниндзя Гудс» — про ошибки, которые могли погубить его стартап

Inc.
Открыть в приложении