История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Чем ты это сказала? Чем ты это сказала?

Кто говорит с нами из колонок?

Men Today
Отметить новый год эффектно Отметить новый год эффектно

Как отметить новый год со спецэффектами

Maxim
Не боги горшки обжигают: за что мы благодарны Михаилу Горшеневу из «Короля и Шута» Не боги горшки обжигают: за что мы благодарны Михаилу Горшеневу из «Короля и Шута»

Семь вещей, за которые стоит поблагодарить Михаила Горшенева

Правила жизни
Путешествуя с Чичиковым, Татьяной Лариной и другими героями русской классики Путешествуя с Чичиковым, Татьяной Лариной и другими героями русской классики

На чём ездили люди до изобретения двигателя внутреннего сгорания

Наука и жизнь
Мемолог или вайб-менеджер: какие новые профессии придумал российский бизнес и зачем Мемолог или вайб-менеджер: какие новые профессии придумал российский бизнес и зачем

Какие необычные позиции появились в российских компаниях за последние пару лет

Forbes
Почему скрипят тормоза у машины и что с этим делать Почему скрипят тормоза у машины и что с этим делать

Почему возникает скрип тормозов и когда он действительно требует внимания

РБК
Как написать в Ватсап без добавления контакта Как написать в Ватсап без добавления контакта

Разберем, написать в Ватсап без добавления номера в телефонную книгу

CHIP
Что скрывается за модным словом «роялти» ? Что скрывается за модным словом «роялти» ?

Пассивный доход на интеллектуальной собственности: как работает роялти?

Наука и техника
Ох уж эти детки Ох уж эти детки

Звездные мамы и папы рассказали, чему научились у своих детей

Grazia
10 фильмов про Супермена, от худших к лучшим 10 фильмов про Супермена, от худших к лучшим

Самые лучшие и самые худшие фильмы про Супермена

Maxim
Как выбрать фильтр для воды? Есть всего два важных параметра Как выбрать фильтр для воды? Есть всего два важных параметра

Разбираемся, как выбрать идеальную систему очистки воды

ТехИнсайдер
Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина

Режиссер Роман Михайлов — о снах и сказочных 90-х

Ведомости
Почему поколение Z уходит из корпораций и выбирает франшизы Почему поколение Z уходит из корпораций и выбирает франшизы

Почему зумеры выбирают вместо корпоративной стабильности предпринимательство?

Forbes
Одежда-антистресс Одежда-антистресс

Что включить в дофаминовый гардероб

Лиза
Из мужского гардероба — в одежду для Барби: как розовый стал женским цветом Из мужского гардероба — в одежду для Барби: как розовый стал женским цветом

Как розовый стал воплощением гендерных стереотипов

Forbes
«Хотеть пять звезд, спа и три ресторана — это не стратегия». Президент Cosmos Hotel Group — об ошибках начинающих отельеров «Хотеть пять звезд, спа и три ресторана — это не стратегия». Президент Cosmos Hotel Group — об ошибках начинающих отельеров

Каких ошибок следует избегать отельеру и почему за малыми городами будущее?

Inc.
Меньше не значит хуже: как и зачем развивать бизнес в малых городах. Опыт компьютерного клуба Меньше не значит хуже: как и зачем развивать бизнес в малых городах. Опыт компьютерного клуба

Малые города: зачем бизнесу заходить на такие территории и как с этим работать?

Inc.
Где на Руси отдыхать хорошо Где на Руси отдыхать хорошо

Лучшие места в России по версии Men Today

Men Today
Как правильно зарядить телефон: простые правила, которые сберегут его аккумулятор Как правильно зарядить телефон: простые правила, которые сберегут его аккумулятор

Что влияет на срок службы аккумулятора и как правильно заряжать телефон

CHIP
Будет держаться Будет держаться

Советы для тех, кто отчаялся научиться делать укладку самостоятельно

Лиза
Древние люди 700 000 лет глотали зерна, пока не научились их разжевывать Древние люди 700 000 лет глотали зерна, пока не научились их разжевывать

Первые доказательства: диета может возникать раньше физической адаптации

ТехИнсайдер
Юлия Марченко: «Слабым героиням я уже внутренне сопротивляюсь» Юлия Марченко: «Слабым героиням я уже внутренне сопротивляюсь»

«Русская Тильда Суинтон» рассказала, как обнаружить в Москве родной Минск

Ведомости
Сергей Батехин: Контролировать не всегда хорошо Сергей Батехин: Контролировать не всегда хорошо

Крупные российские инвестгруппы вынуждены переосмыслять свою роль в экономике

Ведомости
Мальчик и дерево Мальчик и дерево

Как важно держаться корней в прямом и переносном смысле

Men Today
Зеленый доктор Зеленый доктор

Чем больше «травы» – тем меньше вес

Лиза
Трагическая история Одри Мэнсон, первой американской супермодели Трагическая история Одри Мэнсон, первой американской супермодели

Путь первой американской супермодели Одри Мэнсон к славе

ТехИнсайдер
Новые горизонты Новые горизонты

Комфортные и надежные: эти машины идеально подходят для путешествий по России

Men Today
Это все ваше воспитание Это все ваше воспитание

С какого возраста начать прививать детям хорошие манеры и этикет

Grazia
4 книги, которые советует прочитать лидер книжного клуба Skolkovo Alumni Андрей Мигель 4 книги, которые советует прочитать лидер книжного клуба Skolkovo Alumni Андрей Мигель

Бизнес-литература, на которую стоит обратить внимание

Inc.
Открыть в приложении