История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Дорожная карта Дорожная карта

Фильмы, которые помогут увидеть мир

Лиза
20 вопросов Клаве Коке 20 вопросов Клаве Коке

Playboy «достал» певицу Клаву Коку занудными вопросами…

Playboy
В ритме сердца: что такое HRV и так ли он важен В ритме сердца: что такое HRV и так ли он важен

Разбираем все, что нужно знать о вариабельности сердечного ритма

РБК
Новые миры Новые миры

Юбилей высадки на Луну – повод задуматься, куда и зачем мы можем полететь еще

Популярная механика
Исследование показало, сколько раз нужно заниматься сексом, чтобы снизить риск депрессии Исследование показало, сколько раз нужно заниматься сексом, чтобы снизить риск депрессии

Секс один-два раза в неделю может принести наибольшую психологическую пользу

Inc.
Десять цветов Десять цветов

Самые древние и почитаемые традиционные ремесла – часть культурного кода Мьянмы

Вокруг света
«Я, наверное, вас удивлю…» «Я, наверное, вас удивлю…»

Ирина Безрукова — о возрасте, красоте и женской силе

OK!
Новые методы помогут искать воду в лунных кратерах и глубоко под поверхностью Новые методы помогут искать воду в лунных кратерах и глубоко под поверхностью

Ученые пытаются определить, где и сколько льда находится на Луне

ТехИнсайдер
Куда приводят мечты инженеров Куда приводят мечты инженеров

Маршрут выходного дня по Калужской области

Weekend
ИИ проверят на дырки ИИ проверят на дырки

Минцифры проведет эксперимент по внедрению ИИ в региональные «Госуслуги»

Ведомости
Новое исследование: мат улучшает спортивные результаты Новое исследование: мат улучшает спортивные результаты

Как «матюки» во время физических нагрузок помогают превзойти свои возможности

Maxim
5 полезных устройств для тех, кто затеял ремонт 5 полезных устройств для тех, кто затеял ремонт

Подборка полезной и надежной техники для ремонта

CHIP
Право на смелость Право на смелость

Певица Люся Чеботина и психолог Анетта Орлова — о любви к себе и сепарации

Psychologies
Мария Порошина Мария Порошина

«Людмила Ставская взяла меня за руку, а я чувствовала себя как слепой котенок»

Караван историй
Культурный виноград появился на Сардинии больше трех тысяч лет назад Культурный виноград появился на Сардинии больше трех тысяч лет назад

Самый ранний культурный виноград выращивали на Сардинии

N+1
От жуткого хоррора до ироничной пародии: как кино переосмысливает классические сказки на новый лад От жуткого хоррора до ироничной пародии: как кино переосмысливает классические сказки на новый лад

Оригинальные проекты, переосмысливающие классические сказки в неожиданном ключе

Правила жизни
Юродивый из Лефортова Юродивый из Лефортова

Почему смерть рэпера обсуждала вся страна и что не так с молодежной политикой?

Монокль
В средневековом европейском борделе похоронили трехмесячного мальчика В средневековом европейском борделе похоронили трехмесячного мальчика

Ученые описали захоронение младенца в средневековом борделе Бельгии

N+1
Простой способ повысить психологическую устойчивость и настроиться на позитив Простой способ повысить психологическую устойчивость и настроиться на позитив

Одно упражнение для поддержания психологической устойчивости

Inc.
Это не джентльмены Это не джентльмены

Выходит сериал «Гангстерленд», где первые эпизоды снял Гай Ритчи

Weekend
От Марса до квантовой физики: 11 книг для любителей научной фантастики От Марса до квантовой физики: 11 книг для любителей научной фантастики

Что ждет человечество в будущем? Фантасты размышляют в своих книгах

Maxim
Тихоходкам набили татуировки электронным пучком Тихоходкам набили татуировки электронным пучком

Китайские материаловеды нанесли татуировки живым тихоходкам

N+1
Самые безумные и правдоподобные теории заговора про римских пап Самые безумные и правдоподобные теории заговора про римских пап

Какие теории заговора про римских пап были самыми безумными?

Maxim
У нас секса нет? У нас секса нет?

Из-за чего мужчины комплексуют в постели?

Лиза
Петербург будущего Петербург будущего

Экскурсия по Северной столице от Льва Лурье и новое поколение гидов-урбанистов

Собака.ru
Четко по телу Четко по телу

Как «сбросить апельсиновую корку» с кожи?

Лиза
3D-печать домов, роботы-диагносты, космические двигатели и сверхпрочные ткани: как российские стартапы создают будущее 3D-печать домов, роботы-диагносты, космические двигатели и сверхпрочные ткани: как российские стартапы создают будущее

Подборка историй людей, которые двигают прогресс

ТехИнсайдер
Бессвязные дороги Бессвязные дороги

Как обеспечить автодороги сотовой связью без переплат

Ведомости
10 вещей, которые нельзя стирать вместе, если ты не хочешь, чтобы они износились раньше времени 10 вещей, которые нельзя стирать вместе, если ты не хочешь, чтобы они износились раньше времени

Какие вещи никогда не следует совмещать в стиральной машине?

VOICE
Открыть в приложении