История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Гигантская. Критические дни Бетельгейзе Гигантская. Критические дни Бетельгейзе

Разбираемся с причинами глубокого «обморока» Бетельгейзе

Наука и жизнь
Что будет, если все люди на Земле прыгнут одновременно Что будет, если все люди на Земле прыгнут одновременно

Сможем ли мы сдвинуть нашу планету, если подпрыгнем все вместе?

Популярная механика
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Ну и что, что мы непохожи: звезды с особенностями развития – Динклейдж и другие Ну и что, что мы непохожи: звезды с особенностями развития – Динклейдж и другие

Эти знаменитости сумели превратить особенности своего развития в достоинства

Cosmopolitan
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
Алесь Адамович Алесь Адамович

Опыт, пережитый Адамовичем во время войны, определил его мировоззрение

Дилетант
Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
На пике На пике

Как поддерживать максимальную эффективность без выгорания

kiozk originals
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Хилиазм: хеппи-энд истории Хилиазм: хеппи-энд истории

Что такое хилиазм и чем он отличается от докетизма

Weekend
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
Оук — остров, где зарыт один из самых таинственных кладов на планете Оук — остров, где зарыт один из самых таинственных кладов на планете

Поиски клада идут уже 200 лет…

Maxim
Боксёрские перчатки узника №136954 Боксёрские перчатки узника №136954

Саламо Арух, уроженец Салоники, был схвачен нацистами в мае 1943 года

Дилетант
Хобби на черный день. Как продать самую дорогую в истории бейсбольную карточку за $3,9 млн Хобби на черный день. Как продать самую дорогую в истории бейсбольную карточку за $3,9 млн

Делец Дэйв Оанча зарабатывает миллионы на перепродаже редких карточек

Forbes
За кулисами пуска За кулисами пуска

Старт космической ракеты – зрелище без преувеличения грандиозное

Популярная механика
Искусство успокаивать детей Искусство успокаивать детей

Опытный педиатр отвечает на вопрос, почему дети плачут

kiozk originals
20 вещей, которые могут тебе пригодиться в постели 20 вещей, которые могут тебе пригодиться в постели

Объекты и явления, при помощи которых твой секс будет еще великолепнее

Maxim
Незвездные болезни: гепатит, диабет, псориаз, астма - с чем борются знаменитости Незвездные болезни: гепатит, диабет, псориаз, астма - с чем борются знаменитости

Многие звезды не боятся открыто говорить о проблемах со здоровьем

Cosmopolitan
Оккупация и сопротивление Оккупация и сопротивление

Ответы на вопросы об оккупации и силах сопротивления Второй мировой войны

Дилетант
Как правильно организовать рабочее место Как правильно организовать рабочее место

Правильная организация рабочего места повышает продуктивность

Cosmopolitan
Крах деловых поездок, продаж бумаги и кофе: почему полный переход на удалёнку может стать экономической проблемой Крах деловых поездок, продаж бумаги и кофе: почему полный переход на удалёнку может стать экономической проблемой

Множество неочевидных бизнесов зависит от «белых воротничков»

VC.RU
Альцгеймер: этапы развития болезни Альцгеймер: этапы развития болезни

Отрывок из книги Джеймса Уорнера и Нори Грэм «Поговорим о болезни Альцгеймера»

Psychologies
Тайные увлечения и громкие романы: неожиданные факты об актрисах Тайные увлечения и громкие романы: неожиданные факты об актрисах

Перед тобой – факты из жизни главных героинь актерского состава «Сумерек»!

Cosmopolitan
По тонкому льду По тонкому льду

Как глобальное потепление повлияет на Россию

N+1
Как быстро повзрослеть и стать ответственным: правила борьбы с инфантилизмом Как быстро повзрослеть и стать ответственным: правила борьбы с инфантилизмом

Инфантилизм может представлять серьезную проблему, которую можно и нужно решать

Playboy
Живая лаборатория Европы. Как устроен город, у которого есть план до 2070 года Живая лаборатория Европы. Как устроен город, у которого есть план до 2070 года

Как Копенгагену удается строить идеальную экосистему

Forbes
M-15 Belphegor: самый уродливый и бестолковый самолет в мире M-15 Belphegor: самый уродливый и бестолковый самолет в мире

Худший самолет всех времен и народов во всей красе!

Популярная механика
Возврат к корням: есть ли славянофилы в современном российском дизайне Возврат к корням: есть ли славянофилы в современном российском дизайне

Как дизайнеры и архитекторы стильно возвращаются к корням

Forbes
Как есть палочками: самый полный гид Как есть палочками: самый полный гид

Брось вызов гегемонии ножа и вилки на обеденном столе!

Maxim
Одно спасительное имя Одно спасительное имя

Как называют лекарства?

Популярная механика
Открыть в приложении