История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Время Рыб. Осеннее небо Время Рыб. Осеннее небо

Большое зодиакальное созвездие Рыбы имеет длинную и запутанную историю...

Наука и жизнь
«Мама, познакомься…»: неподходящие избранники наших детей «Мама, познакомься…»: неподходящие избранники наших детей

Что делать, если ваш знакомит вас с тем, кто ей или ему совершенно не подходит?

Psychologies
Ах, эта язва! Ах, эта язва!

Какого специального лечения зачастую требует стоматит?

Лиза
Искусства ради Искусства ради

Квартира лондонского коллекционера

SALON-Interior
Теория поколений Теория поколений

Как появились люди X, Y, Z, альфа и чем они отличаются в разных странах?

Вокруг света
Крах деловых поездок, продаж бумаги и кофе: почему полный переход на удалёнку может стать экономической проблемой Крах деловых поездок, продаж бумаги и кофе: почему полный переход на удалёнку может стать экономической проблемой

Множество неочевидных бизнесов зависит от «белых воротничков»

VC.RU
Искусственный интеллект Искусственный интеллект

Этапы. Угрозы. Стратегии

kiozk originals
Почему наш мир удобен только для мужчин? Приводим доказательства из новой книги (на примере уборки снега) Почему наш мир удобен только для мужчин? Приводим доказательства из новой книги (на примере уборки снега)

Внушительный объем примеров неравенства в самых разных областях

Esquire
Биологи научились лечить язву гидрогелем Биологи научились лечить язву гидрогелем

Ученые разработали гидрогель, способствующий заживлению язвы желудка

N+1
Голод 1230 года: самый страшный голод на Руси Голод 1230 года: самый страшный голод на Руси

В ночь на 14 сентября от заморозков погиб урожай, это стало началом трагедии

Maxim
Как поймать идеальный момент для продажи доли в компании: сценарии и риски Как поймать идеальный момент для продажи доли в компании: сценарии и риски

Как помочь команде кратно вырасти и в какой момент ее оставить

Forbes
Разожги мой огонь Разожги мой огонь

Интимные отношения могут дарить вдохновение, но могут и гасить его

Psychologies
Осенью и так тяжело, а в 2020 году — особенно. Снижаем уровень стресса — смотрим на собак модных дизайнеров Осенью и так тяжело, а в 2020 году — особенно. Снижаем уровень стресса — смотрим на собак модных дизайнеров

Для снижения уровня стресса мы предлагаем смотреть на звездных питомцев

Esquire
Хобби на черный день. Как продать самую дорогую в истории бейсбольную карточку за $3,9 млн Хобби на черный день. Как продать самую дорогую в истории бейсбольную карточку за $3,9 млн

Делец Дэйв Оанча зарабатывает миллионы на перепродаже редких карточек

Forbes
«Кадиш.com» — комический роман финалиста Пулитцера Натана Ингландера об отношениях отцов и детей. Публикуем его фрагмент «Кадиш.com» — комический роман финалиста Пулитцера Натана Ингландера об отношениях отцов и детей. Публикуем его фрагмент

Фрагмент из комического романа Натана Ингландера «Кадиш.com»

Esquire
«Работа с травмой — сложная». Психолог — о волонтерской помощи белорусам «Работа с травмой — сложная». Психолог — о волонтерской помощи белорусам

Психолог о том, как государственные катаклизмы влияют на психику обычных людей

РБК
Открыт новый тип организации нуклеиновых кислот в нашем теле Открыт новый тип организации нуклеиновых кислот в нашем теле

Исследователи изучают новый тип пространственной организации нуклеиновых кислот

Популярная механика
Что делать по дороге на работу Что делать по дороге на работу

Чем люди предпочитают заниматься по дороге на работу и с работы

Psychologies
Одно спасительное имя Одно спасительное имя

Как называют лекарства?

Популярная механика
Почему я устаю? Почему я устаю?

В чем скрытые причины постоянной усталости?

Лиза
Все краски жизни Все краски жизни

Кэрол Иган привнесла в традиционный американский дом жизнерадостное настроение

AD
Игры, в которые играют люди Игры, в которые играют люди

Психология человеческих взаимоотношений

kiozk originals
Из дальнобойщиков в CEO: как водитель грузовика основал компанию и стал зарабатывать $3,5 млн в год Из дальнобойщиков в CEO: как водитель грузовика основал компанию и стал зарабатывать $3,5 млн в год

Вдохновляющий рассказ о неудачах, везении и сбывшейся американской мечте

Inc.
Самоорганизация неупорядоченных цепочек внутри стекла сделала его твердым Самоорганизация неупорядоченных цепочек внутри стекла сделала его твердым

Физики показали, как и почему стекло становится твердым при охлаждении

N+1
Ни шляпки, ни ножки: что нужно знать об отравлении ядовитыми грибами Ни шляпки, ни ножки: что нужно знать об отравлении ядовитыми грибами

Как выглядит отравление ядовитыми грибами и что делать, чтобы с ним справиться

Cosmopolitan
8 фильмов ужасов, основанных на реальных событиях 8 фильмов ужасов, основанных на реальных событиях

Тот самый случай, когда режиссеру даже не пришлось ничего приукрашивать

Maxim
Парадокс дней рождения и его наглядное объяснение Парадокс дней рождения и его наглядное объяснение

Как у сотрудников в одном офисе могут совпадать дни рождения?

Maxim
Ахиллесова пята: как даже «умный шагомер» может превратиться в дьявола Ахиллесова пята: как даже «умный шагомер» может превратиться в дьявола

Особенности человеческой психики, которые побуждают нас отвлекаться

Forbes
10 самых нелепых теорий заговоров: мир под властью рептилоидов 10 самых нелепых теорий заговоров: мир под властью рептилоидов

Подборка самых нелепых и уморительных теорий конспирологов по всему миру

Популярная механика
Как детский характер становится взрослым Как детский характер становится взрослым

Из чего складывает темперамент человека по мере взросления?

Популярная механика
Открыть в приложении