История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Гигантская. Критические дни Бетельгейзе Гигантская. Критические дни Бетельгейзе

Разбираемся с причинами глубокого «обморока» Бетельгейзе

Наука и жизнь
Механическая рука накачивает мускулы Механическая рука накачивает мускулы

Bitrobotics запускает производство высокоскоростных промышленных роботов

Эксперт
Подлинная история д’Артаньяна Подлинная история д’Артаньяна

Жизнь д’Артаньяна точно нельзя назвать скучной

Дилетант
«21 урок для XXI века» «21 урок для XXI века»

Как человеку и человечеству выжить в современном мире тревоги?

kiozk originals
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Кто за главного? Кто за главного?

Свобода воли с точки зрения нейробиологии

kiozk originals
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
Toyota RAV4: за что не надо переплачивать Toyota RAV4: за что не надо переплачивать

2 литра как золотой стандарт

Maxim
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Таинственные звезды и что они производят Таинственные звезды и что они производят

Элементы, которые появляются в результате смерти звезд

Популярная механика
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Чего не хочет женщина Чего не хочет женщина

«Я ненавижу Сьюзи» — трагикомический сериал о похождениях незадачливой актрисы

Weekend
Великие китайские застенки Великие китайские застенки

Битва двух крупных идеологий – это всегда неаппетитно, хотя иногда и грандиозно

Maxim
Правила жизни Пола Ньюмана Правила жизни Пола Ньюмана

Правила жизни актера, режиссера и филантропа Пола Ньюмана

Esquire
Цой жив Цой жив

Виктор Цой погиб в автокатастрофе в Юрмале 15 августа 1990 года

Esquire
Топлес: самые интересные научные факты о женской груди Топлес: самые интересные научные факты о женской груди

Она сводит с ума, кормит и даже спасает жизнь

Популярная механика
В свете полной луны… В свете полной луны…

...происходят странные вещи с поведением животных

Вокруг света
Великая сила вещей: учимся уюту у героев литературных произведений Великая сила вещей: учимся уюту у героев литературных произведений

Как сделать так, чтобы дом стал местом силы и положительных эмоций?

Seasons of life
Ладан для народа Ладан для народа

Благовония как национальное достояние Йемена

Вокруг света
10 самых странных брачных ритуалов у животных 10 самых странных брачных ритуалов у животных

Брачные ритуалы животных бывают крайне странными для нашего восприятия

Популярная механика
The Everything Store The Everything Store

Джефф Безос и эра Amazon

kiozk originals
«Долой Баффета, теперь я ваш папа!»: почему финтех-стартап Robinhood может стать дорогой в никуда для миллионов инвесторов «Долой Баффета, теперь я ваш папа!»: почему финтех-стартап Robinhood может стать дорогой в никуда для миллионов инвесторов

Стартап Robinhood уже привлек на фондовый рынок миллионы непрофессионалов

Forbes
Как худеть после родов и сколько калорий вы тратите, пока кормите грудью? Как худеть после родов и сколько калорий вы тратите, пока кормите грудью?

Ваш главный тренер и диетолог перед вами — это ваш ребенок

9 месяцев
Внутренняя инженерия Внутренняя инженерия

Путь к радости. Практическое руководство от йога

kiozk originals
Монстры, белое зло и расизм: каким получился сериал «Страна Лавкрафта» Монстры, белое зло и расизм: каким получился сериал «Страна Лавкрафта»

Сериал «Страна Лавкрафта» — хоррор про расизм и монстров

Esquire
Правила жизни Наоми Уоттс Правила жизни Наоми Уоттс

Наоми Уоттс: «Я не пытаюсь изгонять своих демонов»

Esquire
Злые вы все Злые вы все

Переводим внимание с ответственного потребления на осознанное поведение

GQ
Эффект фастфуда: как новости заставляют нас чувствовать себя мизерными и пассивными Эффект фастфуда: как новости заставляют нас чувствовать себя мизерными и пассивными

Отрывок из книги Рольфа Добелли «Без новостей»

Forbes
6 способов успокоить ревнивого партнера 6 способов успокоить ревнивого партнера

Как корректно проработать ревность в отношениях?

Psychologies
6 случаев, когда людям пришлось умереть, чтобы добиться своего 6 случаев, когда людям пришлось умереть, чтобы добиться своего

Целеустремленность, которая зашла слишком далеко!

Maxim
Открыть в приложении