История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
Ингибитор миостатина помог мышам сохранить кости и мышцы в космосе Ингибитор миостатина помог мышам сохранить кости и мышцы в космосе

В норме миостатин ограничивает рост мышц

N+1
Драгоценное зернышко Драгоценное зернышко

Золотодобыча в современных условиях

Популярная механика
Принципы здоровых зубов Принципы здоровых зубов

Почему полость рта нуждается в тщательном уходе

Здоровье
Кто вы, доктор Арендт? Кто вы, доктор Арендт?

Загадка, уходящая своими корнями в XIX столетие

Дилетант
Как семейство Кардашьян заработало больше $2 млрд благодаря 14-летнему реалити-шоу Как семейство Кардашьян заработало больше $2 млрд благодаря 14-летнему реалити-шоу

Как вышло, что с закрытием шоу «Семейства Кардашьян» доходы семьи не иссякнут?

Forbes
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Тина Канделаки: «Я не бесстрашная, я просто опытная» Тина Канделаки: «Я не бесстрашная, я просто опытная»

Тина Канделаки о риске и своем легендарном трудолюбии

Cosmopolitan
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Как русские семь лет подслушивали американцев в посольстве США с помощью «подарка» Как русские семь лет подслушивали американцев в посольстве США с помощью «подарка»

Эндовибратор — устройства для прослушки, не требующего источника питания

Maxim
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Растянется? Покроется катышками? Как купить качественный свитер не на один сезон Растянется? Покроется катышками? Как купить качественный свитер не на один сезон

Как купить действительно качественный, теплый и приятный к телу свитер

Cosmopolitan
Безумная история Безумная история

Чтобы разобраться в русском прошлом, без психиатра не обойтись

Дилетант
Зачем собирать современное искусство? Паблик-ток «РБК Стиль» на Cosmoscow Зачем собирать современное искусство? Паблик-ток «РБК Стиль» на Cosmoscow

Мысли участников Cosmoscow об изменениях арт-рынка и художественных стратегий

РБК
Зимовье людей Зимовье людей

Как живут российские деревни и поселки, отрезанные от большой земли

Популярная механика
Фильм или слайд-шоу: как мозг воспринимает реальность Фильм или слайд-шоу: как мозг воспринимает реальность

Возможно, наш мозг воспринимает реальность как серию короткометражек

Популярная механика
Операция «Преемник» по-римски Операция «Преемник» по-римски

Октавиан установил новые правила передачи власти

Дилетант
Акции, стартапы, недвижимость: куда инвестируют Гарвард, Йель, Стэнфорд и другие зарубежные университеты Акции, стартапы, недвижимость: куда инвестируют Гарвард, Йель, Стэнфорд и другие зарубежные университеты

Среди инвестиций университетов компании вроде Google, Facebook и LinkedIn

VC.RU
Соседи по винограднику Соседи по винограднику

Винные деревни Бароло и Барбареско

Вокруг света
Назови меня Антуаном Дуанелем Назови меня Антуаном Дуанелем

О сериале главного современного специалиста по молодым и чувствительным

Weekend
Ольга Слободская: «У КГБ к группе «Кино» всегда были вопросы» Ольга Слободская: «У КГБ к группе «Кино» всегда были вопросы»

Интервью с секретарем Ленинградского рок-клуба, где начался путь «Кино»

Esquire
Диета Дюкана: научные факты о рисках и пользе Диета Дюкана: научные факты о рисках и пользе

Что такое «правильный» вес и почему питание по Дюкану может быть опасно

РБК
Глава из книги Нэнси Сталкер «Япония. История и культура» Глава из книги Нэнси Сталкер «Япония. История и культура»

Как японская культура проникла в европейскую жизн

СНОБ
Человек и железо Человек и железо

«Жаворонки на нити» — комедия о классовом перевоспитании, снятая в 1969 году

Weekend
10 книг, заслуживших 10 книг, заслуживших

Подборка произведений, заслуживших престижную литературную премию "Локус"

Популярная механика
В кадре и за кадром В кадре и за кадром

Женщины в кинопроизводстве уже давно не исключение

OK!
Это моя добыча Это моя добыча

Сторонники «львиной диеты» уверены, что можно питаться одним лишь мясом

Tatler
Кипрская газета назвала более 20 россиян с «подозрительными» «золотыми паспортами» Кипрская газета назвала более 20 россиян с «подозрительными» «золотыми паспортами»

Больше 20 россиянин числятся обладателями подозрительных «золотых паспортов»

Forbes
Ярослав Андреев: «Чарли Чаплин 80 лет назад снимал короткие смешные видео. Он первый тиктокер» Ярослав Андреев: «Чарли Чаплин 80 лет назад снимал короткие смешные видео. Он первый тиктокер»

Основатель WildJam о рекламе в тиктоке и блогерах-зумерах

GQ
Правила жизни Юрия Любимова Правила жизни Юрия Любимова

Режиссер, умер в возрасте 97 лет в Москве

Esquire
Открыть в приложении