История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Что общего между рынком и цирком? Что общего между рынком и цирком?

Слова, кажущиеся совсем разными, иногда имеют общее происхождение

Наука и жизнь
Дорогие игрушки: как сделка Microsoft и ZeniMax Media изменит рынок видеоигр Дорогие игрушки: как сделка Microsoft и ZeniMax Media изменит рынок видеоигр

Microsoft потратил $7,5 млрд на разработчика культовых видеоигр ZeniMax Media

Forbes
Как научить учиться Как научить учиться

Плохие оценки в школе: ищем ошибки в методе обучения, а не в ребенке

Здоровье
Сам себе портной: что можно сшить из старых джинсов Сам себе портной: что можно сшить из старых джинсов

Сумка, сарафан, юбка и другие детали гардероба, которые можно сшить дома

Cosmopolitan
Президентская кампания Хиллари Клинтон Президентская кампания Хиллари Клинтон

Люди, пришедшие поддержать Хиллари Клинтон, повернулись к ней спиной

Дилетант
Как объяснить детям, что с деньгами сейчас туго Как объяснить детям, что с деньгами сейчас туго

Надо ли детям знать о том, что финансовые обстоятельства изменились?

Psychologies
Как зарождался Spotify Как зарождался Spotify

Отрывок из книги «Как Spotify подвинул Apple и изменил музыкальную индустрию»

СНОБ
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
11 самых нелепых случаев использования компьютерной графики в кино 11 самых нелепых случаев использования компьютерной графики в кино

Иногда компьютерная графика только портит фильм

Maxim
Мама – супергерой Мама – супергерой

Как быть многодетной мамой и быть красивой, стройной и успешной в профессии

Здоровье
Мне бы в небо: 10 фактов о работе стюардессы Мне бы в небо: 10 фактов о работе стюардессы

Наверное, каждая девочка мечтала стать стюардессой

Cosmopolitan
Внутренняя инженерия Внутренняя инженерия

Путь к радости. Практическое руководство от йога

kiozk originals
Трафик Трафик

Психология поведения на дорогах

kiozk originals
Как спаниэль спас карьеру будущего президента США Ричарда Никсона Как спаниэль спас карьеру будущего президента США Ричарда Никсона

«Речь про Чекерса» стала самым проникновенным обращением к нации в прямом эфире

Maxim
Не думайте о покупателе: как вырастить стартап, который купит Apple Не думайте о покупателе: как вырастить стартап, который купит Apple

Что необходимо учитывать при создании стартапа, чтобы заинтересовать Apple

Forbes
Принципы, правила и риски, на которые идёт Netflix, чтобы быть первым: опыт сооснователя сервиса Рида Хастингса Принципы, правила и риски, на которые идёт Netflix, чтобы быть первым: опыт сооснователя сервиса Рида Хастингса

Главное из разговора руководителя Netflix с Forbes и Bloomberg

VC.RU
С чистого холста С чистого холста

Интерьер для художницы, где может жить искусство

AD
Что выдает мужчину-невротика? Рассуждает Михаил Лабковский Что выдает мужчину-невротика? Рассуждает Михаил Лабковский

Как распознать мужчину с неврозом и избежать токсичных отношений с ним

Cosmopolitan
Неизбежно Неизбежно

12 технологических трендов, которые определяют наше будущее

kiozk originals
На пиковых перекрёстках Гороховой улицы На пиковых перекрёстках Гороховой улицы

Магическое притяжение Гороховой улицы в Санкт-Петербурге

Наука и жизнь
Выбирай, не выбирая: как нам запрещают заботиться о своей безопасности Выбирай, не выбирая: как нам запрещают заботиться о своей безопасности

Как женщинам сначала запрещают заботиться о своей безопасности

Cosmopolitan
5 важных вопросов, которые надо задать партнеру до начала отношений 5 важных вопросов, которые надо задать партнеру до начала отношений

Что выяснить у партнера в начале отношений, чтобы у них не было трагичного конца

Psychologies
Иметь или быть? Иметь или быть?

Как современное общество стало материалистическим

kiozk originals
Почему мы до сих пор верим мошенникам и как избежать обмана в интернете Почему мы до сих пор верим мошенникам и как избежать обмана в интернете

Почему на крючок мошенников попадаются не только пенсионеры из регионов

СНОБ
Синдром бумеранга Синдром бумеранга

Стоит ли давать отношениям второй шанс?

Лиза
Счастливая открытка от Гагарина: как предприниматель из Белоруссии продал стартап Facebook и стал партнером сына миллиардера Счастливая открытка от Гагарина: как предприниматель из Белоруссии продал стартап Facebook и стал партнером сына миллиардера

Как Гурский добился успеха, какую роль в этом сыграл Юрий Гагарин?

Forbes
Как формируется детское мировоззрение Как формируется детское мировоззрение

Вопрос «кто виноват?» — основной толчок для формирования мировоззрения удетей

СНОБ
Зачем Россия все простила Лукашенко Зачем Россия все простила Лукашенко

Как Лукашенко вывернется на этот раз?

СНОБ
10 самых безумных грузов, перевезенных по воздуху 10 самых безумных грузов, перевезенных по воздуху

Авиаперевозки, не поддающиеся никакой классификации.

Популярная механика
Все хреново Все хреново

Книга о надежде

kiozk originals
Открыть в приложении