История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Загадки исчезнувшей цивилизации Загадки исчезнувшей цивилизации

800 лет назад на месте современного Татарстана располагалась Волжская Булгария

Дилетант
Экранное время Экранное время

Десять образовательных онлайн-курсов

Vogue
Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
Культурный код Культурный код

Секреты чрезвычайно успешных групп и организаций

kiozk originals
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Сара Терриен: «Хорошая работа психолога чувствуется практически сразу» Сара Терриен: «Хорошая работа психолога чувствуется практически сразу»

Когда следует задуматься о консультации психолога?

Здоровье
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Астрономы впервые напрямую зарегистрировали рождение черной дыры промежуточной массы Астрономы впервые напрямую зарегистрировали рождение черной дыры промежуточной массы

Самая тяжелая черная дыра

N+1
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Хранить не в холодильнике: как продлить жизнь органам вне тела Хранить не в холодильнике: как продлить жизнь органам вне тела

Время лечит любые раны, если только речь не о трансплантации

Популярная механика
«Убойный завод» начала нэпа «Убойный завод» начала нэпа

Василий Комаров - убийца, жертвами которого стали более 30 человек

Дилетант
Измеряйте самое важное Измеряйте самое важное

Как Google, Intel и другие компании добиваются роста с помощью OKR

kiozk originals
Охота за Эйхманом Охота за Эйхманом

Адольф Эйхман вошёл в историю как «архитектор холокоста»

Дилетант
Девочки, которые превращаются в мальчиков в 12, — феномен гуэведосе Девочки, которые превращаются в мальчиков в 12, — феномен гуэведосе

В Доминиканской Республике есть деревня, отличающаяся от других

Cosmopolitan
Операция «Поимка» Операция «Поимка»

Пётр I хотел во что бы то ни стало вернуть сбежавшего из России сына

Дилетант
10 терминов, неуместное использование которых расстраивает ученых 10 терминов, неуместное использование которых расстраивает ученых

Научные термины, которые мы не всегда уместно используем

Популярная механика
Полетим Полетим

Уже в 2030-х можно будет добраться за город на летающем такси

ТехИнсайдер
Костюм как вторая кожа Костюм как вторая кожа

Почему женщины должны заимствовать этот мужской секрет

Robb Report
Пришел Кутузов бить французов: 7 мифов о легендарном генерал-фельдмаршале Пришел Кутузов бить французов: 7 мифов о легендарном генерал-фельдмаршале

Масон, заговорщик, бездарный полководец, «выезжавший» за счет чужих достижений?

Вокруг света
Магия утра Магия утра

Как первый час дня определяет ваш успех

kiozk originals
12 фотографий самых любопытных мест человеческого тела 12 фотографий самых любопытных мест человеческого тела

Воистину красота человеческого тела безгранична!

Maxim
5 лучших способов похудеть, кроме посещения тренажерного зала 5 лучших способов похудеть, кроме посещения тренажерного зала

Можно прийти в форму и без абонемента

Playboy
Дисциплина без драм Дисциплина без драм

Как помочь ребенку воспитать характер

kiozk originals
Королева детективов: 9 мифов об Агате Кристи Королева детективов: 9 мифов об Агате Кристи

«Убийца — дворецкий»: как на самом деле писала Агата Кристи

Вокруг света
«Идите навстречу боли, а не избегайте ее»: жизненные принципы миллиардера Рэя Далио «Идите навстречу боли, а не избегайте ее»: жизненные принципы миллиардера Рэя Далио

Фрагмент из книги «Принципы. Жизнь и работа» миллиардера Рэя Далио

Forbes
Самку китовой акулы признали самой большой рыбой Самку китовой акулы признали самой большой рыбой

В среднем, длина тела самки китовой акулы может достигать 14,5 метра

N+1
Борода лопатой и галстук-бабочка: 7 деталей мужского стиля, которые всех достали Борода лопатой и галстук-бабочка: 7 деталей мужского стиля, которые всех достали

Хватит поставлять нам одинаковых бородатых мужчин в белых кедах. Пожалуйста!

Cosmopolitan
Неделя в Москве: как увидеть знаковые места столицы. Часть вторая Неделя в Москве: как увидеть знаковые места столицы. Часть вторая

Маршруты для идеального путешествия по Москве. Продолжение

Культура.РФ
Тепло наших дел Тепло наших дел

Как Анастасия Татулова строит бизнес с человеческим лицом

Vogue
Дети, посуда и розетки. Как сексизм пронизывает нашу повседневность и почему старые нормы неизбежно отмирают Дети, посуда и розетки. Как сексизм пронизывает нашу повседневность и почему старые нормы неизбежно отмирают

Отрывок из книги о новой этике «Так вышло. 29 вопросов новой этики и морали»

Forbes
Открыть в приложении