История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Крестовый психоз бедноты Крестовый психоз бедноты

Крестовый поход бедноты запомнился грабежами и массовыми убийствами

Дилетант
«Коля — это кремень»: что мы знаем о повзрослевшем сыне Лукашенко «Коля — это кремень»: что мы знаем о повзрослевшем сыне Лукашенко

Что мы знаем о младшем сыне Лукашенко, которого отец готовил в преемники?

Forbes
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
«Она меркантильная!»: почему женские амбиции всех раздражают «Она меркантильная!»: почему женские амбиции всех раздражают

Мы привыкаем заталкивать свои амбиции поглубже и оставаться "хорошими девочками"

Cosmopolitan
От чего умер Ленин? От чего умер Ленин?

На момент смерти Ленину было всего 53 года. На здоровье он никогда не жаловался

Дилетант
Можно ли оружием из видеоигр убивать настоящих людей? Можно ли оружием из видеоигр убивать настоящих людей?

9 прототипов самого смертоносного оружия из классических игр

Maxim
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Курортный роман: как к нему относиться и правильно завершить Курортный роман: как к нему относиться и правильно завершить

Как провести незабываемый курортный роман и закончить его без вреда для психики

Psychologies
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Невероятно трогательное письмо отца своей маленькой дочери Невероятно трогательное письмо отца своей маленькой дочери

Самое трогательное письмо, которое отец писал когда-либо дочери

Cosmopolitan
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Почему проблемы с весом нужно решать не через диеты, а через голову Почему проблемы с весом нужно решать не через диеты, а через голову

Что такое расстройство пищевого поведения и что нужно делать, чтобы себе помочь

Cosmopolitan
Берут – беги Берут – беги

Теневая экономика России настолько велика, что называть ее теневой даже неловко

Esquire
«Затерянный мир Дарвина. Тайная история жизни на Земле» «Затерянный мир Дарвина. Тайная история жизни на Земле»

Отрывок из книги Мартина Брезиера о докембрийском периоде

N+1
Стая товарищей Стая товарищей

Рассказ Елены Первушиной

Наука и жизнь
Что такое DivorceCore и почему этот музыкальный жанр возвращается в моду Что такое DivorceCore и почему этот музыкальный жанр возвращается в моду

Проводники этого жанра — средневозрастные рок-звезды, поющие о меланхолии

Esquire
Стереохимические фантазии Вант-Гоффа Стереохимические фантазии Вант-Гоффа

Ученые, которые первыми дали верное объяснение оптической изомерии

Наука и жизнь
Серый кардинал принципата Серый кардинал принципата

Имя Гая Цильния Мецената стало нарицательным

Дилетант
Великие китайские застенки Великие китайские застенки

Битва двух крупных идеологий – это всегда неаппетитно, хотя иногда и грандиозно

Maxim
Режиссер Келли Райхардт — о своем новом фильме «Первая корова», внутренней кухне кино и о том, как снимать кино об Америке начала XIX века Режиссер Келли Райхардт — о своем новом фильме «Первая корова», внутренней кухне кино и о том, как снимать кино об Америке начала XIX века

Новая работа режиссера — экранизация романа Джонатана Рэймонда

Esquire
Военные и смешные: самая чудная форма армий мира Военные и смешные: самая чудная форма армий мира

Как выглядит военная форма в разных странах мира?

Maxim
Лучшие комиксы и графические романы для подростков в 2020 году Лучшие комиксы и графические романы для подростков в 2020 году

Графические романы, манги и комиксы, завоевавшие мир

СНОБ
Талант или упорный труд? Разбираемся, что важнее для твоей карьеры Талант или упорный труд? Разбираемся, что важнее для твоей карьеры

Стоит ли завидовать одаренным людям?

Cosmopolitan
Стив Джобс, Николь Ричи и другие: кого из знаменитостей усыновили Стив Джобс, Николь Ричи и другие: кого из знаменитостей усыновили

Знаменитости, воспитанные приемными родителями

Cosmopolitan
Как заработать много денег: основные нюансы и 8 работающих стратегий Как заработать много денег: основные нюансы и 8 работающих стратегий

Коллекция стратегий по заработку денег, способных принести хороший доход

Playboy
Как работает Google Как работает Google

Как Google понимает, что именно нужно пользователю

kiozk originals
Семь принципов счастливого брака Семь принципов счастливого брака

Или эмоциональный интеллект в любви

kiozk originals
Секреты домашнего мастера: лайфхаки на каждый день Секреты домашнего мастера: лайфхаки на каждый день

Домашний ремонт: нехитрые решения хитрых задач

Популярная механика
Как несостоявшийся ликвидатор Саддама Хусейна заработал $850 млн Как несостоявшийся ликвидатор Саддама Хусейна заработал $850 млн

Приложение Дорона Кемпеля, которое люди используют в тревожной ситуации

Forbes
Карьерное самоубийство: три главные ошибки гендиректоров, которые приводят к увольнению Карьерное самоубийство: три главные ошибки гендиректоров, которые приводят к увольнению

Как вести себя, чтобы продержаться в заветном кресле как можно дольше

Forbes
Открыть в приложении