История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Эпоха тюрок. Печенеги Эпоха тюрок. Печенеги

С IX века хозяевами Великой степи становятся тюркоязычные народы

Дилетант
Жажда контроля: почему мы хотим все просчитать наперед Жажда контроля: почему мы хотим все просчитать наперед

Вам непременно нужно все держать под контролем? Если так, вы не одиноки

Psychologies
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Nudge. Архитектура выбора Nudge. Архитектура выбора

Как улучшить наши решения о здоровье, благосостоянии и счастье

kiozk originals
Верные слуги короля Верные слуги короля

С XVII века королевские мушкетёры стали привилегированными войсками

Дилетант
Часики тикают Часики тикают

Знакомьтесь: звезда TikTok и Instagram Лиза Анохина

Vogue
Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
Как обустроить балкон: советы от дизайнеров интерьера Как обустроить балкон: советы от дизайнеров интерьера

Лайфхаки для тех, кто хочет обустроить на балконе жилое пространство, а не шкаф

Cosmopolitan
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Я само совершенство Я само совершенство

Надо ли бить тревогу, если ваша чудная крошка рыдает на кухне из-за четверки

Tatler
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
У «Гугла» за пазухой У «Гугла» за пазухой

Во что вкладывают деньги корпорации

Maxim
Радио против видео Радио против видео

Автоматическая посадка крылатого летательного аппарата давно уже не фантастика

Популярная механика
6 самых сложных компьютерных игр 6 самых сложных компьютерных игр

Cколько джойстиков, мониторов и мышек было разбито во время прохождения этих игр

Maxim
Убить вождя Убить вождя

Покушение на Ленина полно вопросов

Дилетант
Интерьер для коллекционеров Интерьер для коллекционеров

Квартира как музей современного искусства

SALON-Interior
Ришельё: сделаем Францию снова великой! Ришельё: сделаем Францию снова великой!

Знаменитый кардинал Ришельё создал сильную централизованную державу

Дилетант
10 самых смертоносных растений мира 10 самых смертоносных растений мира

Растения, от которых не ждешь подвоха

Популярная механика
Бисмарк: коварный циник и создатель единой Германии Бисмарк: коварный циник и создатель единой Германии

Немцы редко гордятся методами, которые Бисмарк использовал для достижения целей

Дилетант
В Париж по делу срочно В Париж по делу срочно

Как вареные яйца, круассаны и клубника помогли создать интерьер с обложки

AD
Арт–терапия Арт–терапия

Креативный интерьер вне правил

SALON-Interior
Дневник принцессы Дневник принцессы

Из магазина нижнего белья на первые полосы — Эмма Коррин играет принцессу Диану

Vogue
Попутный ветер Попутный ветер

Прогулка на яхте обернулась для хозяев парижского особняка реставрацией

AD
«По умолчанию человек — это мужчина»: почему из-за дискриминации женщины чаще умирают от инфаркта и гибнут в авариях «По умолчанию человек — это мужчина»: почему из-за дискриминации женщины чаще умирают от инфаркта и гибнут в авариях

Интервью с автором бестселлера «Невидимые женщины» Кэролайн Криадо Перес

Forbes
«Полное разочарование»: проблемы с регуляторами, недоверие инвесторов, падение оценки втрое за год и другие беды Juul «Полное разочарование»: проблемы с регуляторами, недоверие инвесторов, падение оценки втрое за год и другие беды Juul

Как лидер рынка электронных сигарет в США продолжает бороться за свой бизнес

VC.RU
10 самых распространенных фобий 10 самых распространенных фобий

Не стыдно бояться того, чего боится половина мира

Maxim
Человек и железо Человек и железо

«Жаворонки на нити» — комедия о классовом перевоспитании, снятая в 1969 году

Weekend
Мужчины тоже плачут: 6 самых частых «разновидностей» людских слез Мужчины тоже плачут: 6 самых частых «разновидностей» людских слез

Когда дело доходит до слез, не все из них одинаковы

Playboy
Шаровой смеситель: главное водопроводное изобретение Шаровой смеситель: главное водопроводное изобретение

Алекс Манукян подарил миру водопроводный кран, который открывается одной рукой

Популярная механика
Почему Кремль боится санкций США и не боится Евросоюза Почему Кремль боится санкций США и не боится Евросоюза

Неуступчивость в отношениях с Евросоюзом работает

СНОБ
Открыть в приложении