История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Микроулитки на страже экологии Микроулитки на страже экологии

Биологическое разнообразие Арктики изучено крайне неравномерно

Наука и жизнь
Что делать, если на Booking нет подходящих гостиниц? Что делать, если на Booking нет подходящих гостиниц?

Советы от Дидье ле Кальвеза, человека, превратившего George V в гранд-отель

GQ
Подлинная история д’Артаньяна Подлинная история д’Артаньяна

Жизнь д’Артаньяна точно нельзя назвать скучной

Дилетант
Девочки, которые превращаются в мальчиков в 12, — феномен гуэведосе Девочки, которые превращаются в мальчиков в 12, — феномен гуэведосе

В Доминиканской Республике есть деревня, отличающаяся от других

Cosmopolitan
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
«Звери дикого Юга», «Паразиты» и «Питер Пэн»: любимые книги и фильмы миллиардеров «Звери дикого Юга», «Паразиты» и «Питер Пэн»: любимые книги и фильмы миллиардеров

Что миллиардеры готовы рекомендовать к прочтению и просмотру?

Forbes
Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
От лапши в стакане — к списку Forbes. Как Бинод Чаудхари стал первым и единственным непальским миллиардером От лапши в стакане — к списку Forbes. Как Бинод Чаудхари стал первым и единственным непальским миллиардером

Как заработал свои миллиарды потомственный бизнесмен Бинод Чаудхари

Forbes
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
10 шокирующих суперспособностей у людей 10 шокирующих суперспособностей у людей

Некоторым из нас дарованы удивительные свойства

Популярная механика
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Первые выходцы из Африки не стали держаться берегов Первые выходцы из Африки не стали держаться берегов

Человеческие следы в пустыне Нефуд оставили самые первые люди из Африки

N+1
Зимовье людей Зимовье людей

Как живут российские деревни и поселки, отрезанные от большой земли

Популярная механика
Слушай и трать: как музыка влияет на продажи и популярность бренда Слушай и трать: как музыка влияет на продажи и популярность бренда

Как умело подобранные плей-листы помогают клиентам расставаться с деньгами

РБК
Два одиночества Два одиночества

«Встретились два одиночества» — так можно пересказать сюжет фильма «Два папы»

Дилетант
Краски лета Краски лета

Яркий интерьер для путешественников

SALON-Interior
Дайсон против Дайсона Дайсон против Дайсона

Как работает сфера Дайсона

Наука и жизнь
«От ненависти до любви»: как и почему меняется отношение к своему телу «От ненависти до любви»: как и почему меняется отношение к своему телу

Взаимоотношения с телом часто предопределяют и то, как мы общаемся с миром

Psychologies
Где искать ключики от весны? Где искать ключики от весны?

Как выглядят первые вестники долгожданной весны?

Наука и жизнь
Тина Канделаки: «Чтобы хорошо выглядеть, много денег не надо» Тина Канделаки: «Чтобы хорошо выглядеть, много денег не надо»

Тина Канделаки о своём отношении к возрасту и об умении быть молодой и красивой

Здоровье
Второй после Роналду: как Месси может заработать $1 млрд ничего не делая Второй после Роналду: как Месси может заработать $1 млрд ничего не делая

Суммарный доход за всю карьеру Лионеля Месси приближается к отметке $1 млрд

Forbes
Советское искусство на Западе: кому оно сейчас нужно и зачем Советское искусство на Западе: кому оно сейчас нужно и зачем

В чем проблема термина «советское искусство» и кто охотится за ним на аукционах

Esquire
Возраст матери снизил выживаемость потомства у беспозвоночных и млекопитающих Возраст матери снизил выживаемость потомства у беспозвоночных и млекопитающих

Исследования влияния возраста матери на выживаемость и здоровье потомства

N+1
Любовь и деньги Любовь и деньги

Семья и бюджет – вещи очень важные, но, увы, не всегда уживаются друг с другом

Лиза
Анна Чухлебова. Три рассказа о чуде Анна Чухлебова. Три рассказа о чуде

Наше путешествие в поисках талантливых писателей начинается с Анны Чухлебовой

Esquire
Сезонная аллергия, или поллиноз: симптомы и лечение Сезонная аллергия, или поллиноз: симптомы и лечение

Что делать, если у тебя поллиноз, как облегчить свое состояние и как лечиться

Cosmopolitan
Пять женских секретов долгой жизни Пять женских секретов долгой жизни

Почти во всех странах мира женщины живут дольше мужчин. Почему?

Здоровье
Сферы для массажа — тренд 2020 года: лучшая альтернатива роллерам и гуаша? Сферы для массажа — тренд 2020 года: лучшая альтернатива роллерам и гуаша?

Как пользоваться Ice Globes и какая от них польза?

Cosmopolitan
Белорусский политолог Дмитрий Болкунец об экономических последствиях забастовок и будущем Лукашенко Белорусский политолог Дмитрий Болкунец об экономических последствиях забастовок и будущем Лукашенко

Белорусский политолог поделился мнением о забастовках на крупнейших предприятиях

СНОБ
«Не стремлюсь к замужеству, но важно, чтобы мужчина его предложил» «Не стремлюсь к замужеству, но важно, чтобы мужчина его предложил»

Патриархальные ценности все еще влияют на жизнь женщины

Psychologies
Открыть в приложении