История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Заповедники: «Умный дом» для природы Заповедники: «Умный дом» для природы

Уйдут ли заповедники в прошлое или, наоборот, станут более востребованными?

Наука и жизнь
Паста по правилам Паста по правилам

Паста – не гарнир, а полноценное блюдо. Как его приготовить полезным и вкусным?

Худеем правильно
Бегство наследника Бегство наследника

Алексей Петрович так боялся отца, что в итоге сбежал за границу

Дилетант
«Никогда не начинайте своего дела с эгоистичных мыслей». История первой японской женщины-миллиардера «Никогда не начинайте своего дела с эгоистичных мыслей». История первой японской женщины-миллиардера

Как Синохара Йошико стала одной из богатейших женщин в Японии

Forbes
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Главный экспонат Главный экспонат

Музеи и культурные центры, которые сами являются впечатляющими арт-объектами

AD
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
Просто повезло… Истории Джейсона Стейтона, Памелы Андерсон, Джона Лайдона, Дэнни Трехо Просто повезло… Истории Джейсона Стейтона, Памелы Андерсон, Джона Лайдона, Дэнни Трехо

Рецепт славы и богатства прост: надо в нужное время оказаться в нужном месте

Maxim
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
«Звери дикого Юга», «Паразиты» и «Питер Пэн»: любимые книги и фильмы миллиардеров «Звери дикого Юга», «Паразиты» и «Питер Пэн»: любимые книги и фильмы миллиардеров

Что миллиардеры готовы рекомендовать к прочтению и просмотру?

Forbes
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Отрывок из книги Эрика-Эмманюэля Шмитта «Дневник утраченной любви» Отрывок из книги Эрика-Эмманюэля Шмитта «Дневник утраченной любви»

Некоторые главы романа «Дневник утраченной любви» Эрика-Эмманюэля Шмитта

СНОБ
Крошка Ро Крошка Ро

Блогер Марьяна Ро выбралась в реальный мир без одежды

Maxim
Не только лизать: 10 языков животных и необычные факты о них Не только лизать: 10 языков животных и необычные факты о них

Мы используем свой язык для облизывания, глотания и разговора. А животные?

Популярная механика
Похитители галош Похитители галош

Как старые вещи возвращаются к нам под новыми именами и с новыми ценами

Maxim
Дорогое удовольствие! Сколько стоит быть модным блогером — мы посчитали Дорогое удовольствие! Сколько стоит быть модным блогером — мы посчитали

Завидуешь fashion-блогерам?

Cosmopolitan
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Сыск об упрямом старичке Сыск об упрямом старичке

Коллекция следственных протоколов Руси разных веков

Дилетант
Верхом на вихре Верхом на вихре

Возможное будущее гражданской авиации

Популярная механика
Почему мы подвержены аллергии Почему мы подвержены аллергии

Отрывок из книги Тима Спектора «Мифы о диетах»

СНОБ
Надзирать и наказывать Надзирать и наказывать

Рождение тюрьмы

kiozk originals
Ваши любимые джинсы серьезно загрязняют океан Ваши любимые джинсы серьезно загрязняют океан

При стирке денима, крошечные волокна смываются и попадают в окружающую среду

GQ
Mercedes-Benz рассекретил новый флагманский седан Mercedes-Benz рассекретил новый флагманский седан

Mercedes-Benz презентовал седан S-класса седьмого поколения

Популярная механика
Какую программу может предложить лидер оппозиции после выздоровления Какую программу может предложить лидер оппозиции после выздоровления

Алексей Навальный окончательно стал политической фигурой, эквивалентной Путину

СНОБ
Эксперимент ЦРУ помог исследователям раскрыть секрет успешных команд Эксперимент ЦРУ помог исследователям раскрыть секрет успешных команд

Почему одни команды справляются с задачами лучше других?

Inc.
Что у тебя на сердце? Что у тебя на сердце?

Как распознать сердечную недостаточность?

Лиза
Сбил зеркало плечом и не заметил. Нелепая причина для лишения прав Сбил зеркало плечом и не заметил. Нелепая причина для лишения прав

Мотоциклист сбил плечом зеркало у «Газели» и на год лишился прав

РБК
Как стать миллионером к 30 годам? 3 нюанса, о которых важно помнить Как стать миллионером к 30 годам? 3 нюанса, о которых важно помнить

Три важных нюанса на пути к заветному «как стать миллионером к тридцати»

Playboy
10 лучших кинофильмов по книгам Агаты Кристи 10 лучших кинофильмов по книгам Агаты Кристи

Эти экранизации романов Агаты Кристи ты точно должен увидеть

Maxim
Ревматоидный артрит предложили считать двумя разными болезнями Ревматоидный артрит предложили считать двумя разными болезнями

Одну болезнь мы умеем лечить лучше, а про вторую до сих пор многого не знаем

N+1
Открыть в приложении