Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Правила здорового сна: уберите от кровати гаджеты и яблоки Правила здорового сна: уберите от кровати гаджеты и яблоки

Удается ли вам спать достаточное количество часов?

Psychologies
Берегись! 6 болезней, которые могут убить человека за один день Берегись! 6 болезней, которые могут убить человека за один день

В мире существуют заболевания, от которых можно скончаться за сутки

Cosmopolitan
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Яна Рудковская, Одри Тоту и другие звезды за 40, которые круто выглядят в бикини Яна Рудковская, Одри Тоту и другие звезды за 40, которые круто выглядят в бикини

Фигурам девушек из нашей подборки можно только позавидовать

Cosmopolitan
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
Золотые горы. Как работает казино в новой игорной зоне «Красная Поляна» Золотые горы. Как работает казино в новой игорной зоне «Красная Поляна»

Как работает казино в новой игорной зоне «Красная Поляна»

Forbes
Артист, журналист, художник и лучший друг 660 млн человек: почему бот Microsoft Xiaoice стал самым популярным в Китае Артист, журналист, художник и лучший друг 660 млн человек: почему бот Microsoft Xiaoice стал самым популярным в Китае

Как работает интеллектуальный чат-бот от Microsoft

VC.RU
Управляющий экзоскелетом чип больше не будет гpeть мозг Управляющий экзоскелетом чип больше не будет гpeть мозг

Ученые на шаг ближе к созданию полноценного экзоскелета

Популярная механика
Четыре способа вернуться к себе Четыре способа вернуться к себе

Разные виды психотерапии – разные пути, ведущие к внутренней зрелости

Psychologies
Sugar less, party more Sugar less, party more

В Москве открылся первый бар с концепцией Skinny Drinks

Cosmopolitan
В США пытаются запретить главного конспиролога. Американцы недовольны и отстаивают свободу слова В США пытаются запретить главного конспиролога. Американцы недовольны и отстаивают свободу слова

Случай, когда самого ненавистного человека нации защищает эта же нация

Maxim
Почему мы покупаем: как избежать ненужных трат Почему мы покупаем: как избежать ненужных трат

Почему мы покупаем: как избежать ненужных трат

Psychologies
Опасный довесок. Как банки нарушают права клиентов при продаже страховок Опасный довесок. Как банки нарушают права клиентов при продаже страховок

Могут ли банки законно заставить клиента купить страховку при оформлении кредита

Forbes
Сила слов: почему надо говорить о своих чувствах Сила слов: почему надо говорить о своих чувствах

Эксперты советуют озвучивать сложные жизненные ситуации

Psychologies
Григорий Константинопольский: «Мне десять лет никто не давал ничего снимать!» Григорий Константинопольский: «Мне десять лет никто не давал ничего снимать!»

Мы задали Григорию Константинопольскому десятка полтора вопросов

Maxim
«Калашников» представил электрокар, сравнив его с Tesla. В сети посмеялись «Калашников» представил электрокар, сравнив его с Tesla. В сети посмеялись

Последние дни в сети обсуждают новый проект концерна «Калашников»

Playboy
Фабрика сказок Фабрика сказок

Как студия визуальных эффектов CGF и Тимур Бекмамбетов стали партнерами

РБК
9 самых популярных искусственных языков 9 самых популярных искусственных языков

Будь мужиком, выучи эсперанто (или еще восемь искусственных языков)

Maxim
10 крепких фактов о фильме «Крепкий орешек» 10 крепких фактов о фильме «Крепкий орешек»

В 1988 году на пиратских видеокассетах в СССР впервые проник Die Hard

Maxim
Алексей Гидирим: Как легализовать миллионы самозанятых Алексей Гидирим: Как легализовать миллионы самозанятых

Алексей Гидирим: Как легализовать миллионы самозанятых

СНОБ
Царевна Софья Царевна Софья

Софья Капкова — о фильмах, которые нельзя пропустить и борьбе за искусство

Vogue
Срочно пакуем чемоданы! 7 незабываемых мест Испании Срочно пакуем чемоданы! 7 незабываемых мест Испании

Достопримечательности Испании, которые нужно посетить

Playboy
10 признаков слишком близких отношений с матерью 10 признаков слишком близких отношений с матерью

Типичные признаки нарушения личных границ между матерью и ее взрослым ребенком

Psychologies
Игра в бренды Игра в бренды

Компания Ferrero намерена удвоить рост в ближайшие 10 лет

Forbes
Умные бирки: теперь подключить к сети можно все Умные бирки: теперь подключить к сети можно все

Умные бирки: теперь подключить к сети можно все

Forbes
Любой каприз Любой каприз

Компьютерный дизайн материалов

Популярная механика
«Не навредить» детям: возможно ли это? «Не навредить» детям: возможно ли это?

Как вырастить ребенка, не нанеся ему ни одной травмы

Psychologies
Классик и современник Классик и современник

Вячеслав Зайцев — о конфликтах с КГБ, ватниках и маленьких черных платьях

Vogue
Forbes составил рейтинг банков и управляющих компаний для миллионеров Forbes составил рейтинг банков и управляющих компаний для миллионеров

Forbes представляет ежегодный рейтинг российских и иностранных банков

Forbes
Неспящие красавицы Неспящие красавицы

Что такое бессонница и как с ней бороться

Лиза
Открыть в приложении