Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Анна Седокова Анна Седокова

Наверное, она уже привыкла к эпитетам «горячая», «аппетитная», «сочная»

Playboy
Дивидендный сезон: что ждет рубль после выплат акционерам Дивидендный сезон: что ждет рубль после выплат акционерам

В августе курс рубля к доллару окажется под давлением

Forbes
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Наташина мечта Наташина мечта

Наталья Осипова — о балете, мужчинах и Айседоре Дункан

Vogue
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды

Физики обнаружили ранее неизвестное свойство воды, связанное с транспортом ионов

Forbes
«От саванны до дивана: Эволюционная история кошек» «От саванны до дивана: Эволюционная история кошек»

Почему внешность домашних кошек разнообразнее, чем у их предков

N+1
Что взять с собой в самолет: 3 мужских комплекта ручной клади на любой случай Что взять с собой в самолет: 3 мужских комплекта ручной клади на любой случай

Путешествие на самолете давно перестало быть чем-то необычным

Playboy
Минный пол Минный пол

20 вещей, которых мы боимся в женщинах

Maxim
Семь причин поехать в Лимассол Семь причин поехать в Лимассол

Давайте выясним, почему туристы так любят город Лимассол

StarHit
«Держите убийцу тов. Ленина»: опубликованы документы и фото из дела о покушении на создателя СССР «Держите убийцу тов. Ленина»: опубликованы документы и фото из дела о покушении на создателя СССР

Фото с инсценировки покушения на Ленина и другое увлекательное чтиво

Maxim
Может, пойдем ко мне? 14 вещей, которые должны быть дома до прихода девушки Может, пойдем ко мне? 14 вещей, которые должны быть дома до прихода девушки

Прочти наш список необходимых вещей в доме и проверь, все ли на месте

Playboy
Власть бизнеса: 1-49 Власть бизнеса: 1-49

Forbes составил первый рейтинг влиятельных россиян

Forbes
Европа зовет! Как легко и быстро оформить визу: 8 простых шагов Европа зовет! Как легко и быстро оформить визу: 8 простых шагов

Пошаговая инструкция получения визы

Playboy
Паны вернулись Паны вернулись

Пенсии и реформы глазами последних русских на деревне

Русский репортер
Дэвид Боуэн: художник, который рисует... мухами Дэвид Боуэн: художник, который рисует... мухами

Интересно, что рассказали бы нам растения и животные, если бы умели говорить

Популярная механика
Toyota Avensis: исчезающий вид Toyota Avensis: исчезающий вид

Toyota Avensis. Запас прочности

АвтоМир
Трудности перевода: нетрадиционная проблема популярного кроссовера Трудности перевода: нетрадиционная проблема популярного кроссовера

Ну-ка попробуй правильно произнести Hyundai Tucson...

Maxim
Работа мечты: как правильно откликаться на вакансию Работа мечты: как правильно откликаться на вакансию

Иногда вакансия настолько интересна, что человек начинает немного сходить с ума

Forbes
Игры-2020 в Токио станут самыми продвинутыми Игры-2020 в Токио станут самыми продвинутыми

Toyota определила концепцию мобильности для Игр Токио-2020

Популярная механика
На учет без ГИБДД На учет без ГИБДД

Новые автомобили скоро будут регистрировать прямо у дилеров

АвтоМир
Ода брадости! Как выбирать, отращивать и ухаживать за бородой — гид MAXIM Ода брадости! Как выбирать, отращивать и ухаживать за бородой — гид MAXIM

Чем больше борода, тем больше загадок она таит (и это даже не остатки еды)

Maxim
Григорий Константинопольский: «Мне десять лет никто не давал ничего снимать!» Григорий Константинопольский: «Мне десять лет никто не давал ничего снимать!»

Мы задали Григорию Константинопольскому десятка полтора вопросов

Maxim
Движение и дыхание Движение и дыхание

Что надо знать про Аштанга-йогу и как начать практику

Yoga Journal
Великие и Ужасные: 13 незабываемых сцен из фильмов Тима Бертона Великие и Ужасные: 13 незабываемых сцен из фильмов Тима Бертона

«Самые-самые» моменты «самых-самых» фильмов Тима Бертона

Playboy
10 сенсационных научных открытий, которые оказались фальшивками 10 сенсационных научных открытий, которые оказались фальшивками

Любит наш брат журналист кормить доверчивых читателей жареными фактами

Maxim
Поддаться, чтобы наподдать! Как устроено айкидо Поддаться, чтобы наподдать! Как устроено айкидо

Если у тебя в друзьях есть хилый человек в очках, не давай ему читать эту статью

Maxim
Удовольствие есть Удовольствие есть

Как питаться осознанно — и зачем это делать

Yoga Journal
Спей до дна Спей до дна

10 вопросов о стиле для Антона Лаврентьева

Robb Report
Как заработать на отдыхе Как заработать на отдыхе

Проведение летних месяцев в душном офисе противоречит природе человека

Maxim
Открыть в приложении