Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Любой каприз Любой каприз

Компьютерный дизайн материалов

Популярная механика
Люди на пределе Люди на пределе

Возможности нашего собственного, среднестатистического тела

Вокруг света
Жевать лучшего Жевать лучшего

Самые влиятельные московские рестораторы о трендах, бизнесе и любви к еде

Esquire
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
Понять себя и простить? Понять себя и простить?

Какие ошибки мы совершаем и чем нам поможет опыт неудач

Psychologies
Лионелла Пырьева. О друзьях и недругах Лионелла Пырьева. О друзьях и недругах

Жизнь и профессия Лионеллы Пырьевой

Коллекция. Караван историй
Так сказали звезды! Что от тебя будет ждать девушка, которая прочитала гороскоп? Так сказали звезды! Что от тебя будет ждать девушка, которая прочитала гороскоп?

Как реагировать на фразы о твоем знаке зодиака

Playboy
Скрытые функции в Android и iOS Скрытые функции в Android и iOS

Как ускорить работу смартфона с помощью инструментов для разработчиков

CHIP
Смартни свой дом: 8 полезных и доступных девайсов для умного жилья Смартни свой дом: 8 полезных и доступных девайсов для умного жилья

Смартни свой дом: 8 полезных и доступных девайсов для умного жилья

Playboy
Как выбрать няню и не сойти с ума Как выбрать няню и не сойти с ума

Няне вы собираетесь доверить самое дорогое, так что ее поиск вызывает тревогу

Домашний Очаг
Чего ищут пикаперы и что им удается найти Чего ищут пикаперы и что им удается найти

Мастера пикапа считают себя специалистами по искусному соблазнению

Psychologies
17 самых легендарных опечаток в истории 17 самых легендарных опечаток в истории

17 самых легендарных опечаток в истории

Maxim
20 обложек романа «Лолита» 20 обложек романа «Лолита»

Для художников это произведение остается поводом для творческих высказываний

Esquire
Как загореть красиво и безопасно для кожи Как загореть красиво и безопасно для кожи

Загореть красиво – гораздо проще, чем вы думаете

GQ
Sugar less, party more Sugar less, party more

В Москве открылся первый бар с концепцией Skinny Drinks

Cosmopolitan
5 способов спасти отношения 5 способов спасти отношения

Как спасти перспективные отношения от самих себя

Psychologies
А если подпрыгнуть в падающем лифте — поможет? Отвечают физики А если подпрыгнуть в падающем лифте — поможет? Отвечают физики

По возможности избегай лифтов без тросов

Maxim
Ольга Бузова рассказала о чувствах к бывшему мужу Ольга Бузова рассказала о чувствах к бывшему мужу

Ольга Бузова рассказала о чувствах к бывшему мужу

Cosmopolitan
Облеченные властью. Губернаторы в списке влиятельных россиян Облеченные властью. Губернаторы в списке влиятельных россиян

Кто из губернаторов вошел в число самых влиятельных соотечественников?

Forbes
Dior представил аромат JOY, лицом которого стала Дженнифер Лоуренс Dior представил аромат JOY, лицом которого стала Дженнифер Лоуренс

Дженнифер Лоуренс стала лицом нового аромата JOY от Dior

Cosmopolitan
Школьное поле экспериментов Школьное поле экспериментов

Сделали ли бесконечные реформы российскую школу лучше?

Русский репортер
Опасная черта: почему Ереван и Москва не понимают друг друга? Опасная черта: почему Ереван и Москва не понимают друг друга?

Новая элита Армении судит не только бывшего президента страны

Forbes
Как следует отвечать на 9 неудобных детских вопросов Как следует отвечать на 9 неудобных детских вопросов

Как правильно отвечать ребенку на его самые неудобные вопросы

Maxim
Неравный брак Неравный брак

История Матильды Бонапарт

Караван историй
Лучшие шутки об уголовных делах за мемы! Лучшие шутки об уголовных делах за мемы!

Если репостнуть забавную картинку про религию, можно попасть в тюрьму

Maxim
Все деньги Мура Все деньги Мура

Из-за банковской ошибки житель провинциального городка стал миллионером

Esquire
Читала мир как Роман Читала мир как Роман

Интервью с режиссером Ро­ма­ном Ка­ри­мо­вым

Glamour
Toyota Avensis: исчезающий вид Toyota Avensis: исчезающий вид

Toyota Avensis. Запас прочности

АвтоМир
Как угостить девушку выпивкой и не показаться придурком: 7 идеальных советов Как угостить девушку выпивкой и не показаться придурком: 7 идеальных советов

Не стоит забывать про знакомства оффлайн, например, с помощью коктейля в баре

Playboy
Открыть в приложении