Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Виртуальный секс Виртуальный секс

«Популярная механика» протестировала первую в мире виртуальную любовницу

Популярная механика
Cheryexeed TXL. Не так плох, как вы возможно думали Cheryexeed TXL. Не так плох, как вы возможно думали

Cheryexeed TXL — кроссовер, о покупке которого стоит задуматься

4x4 Club
Сон о Соне Сон о Соне

Самая сексуальная солистка самой популярной группы дала нам интервью!

Maxim
5 блюд и напитков, изобретенных случайно 5 блюд и напитков, изобретенных случайно

Блюда, которые получились не благодаря, а вопреки усилиям их авторов

Maxim
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
Новая счастливая жизнь: как будут работать люди, если все будут жить до 100 лет Новая счастливая жизнь: как будут работать люди, если все будут жить до 100 лет

Как долгая жизнь меняет сценарии развития общества

Inc.
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Мы засыпаем быстрее, если используем эти 5 приемов Мы засыпаем быстрее, если используем эти 5 приемов

Топ-5 способов погрузиться в сон быстро без использования специальных препаратов

Psychologies
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Как сделать таблицу в Ворде: 6 способов Как сделать таблицу в Ворде: 6 способов

Как вставить таблицу в Word, нарисовать ее или конвертировать из Excel

CHIP
О чём пишут научно-популярные журналы мира О чём пишут научно-популярные журналы мира

Открытие Америки, спорт, климат и немного цифр: все, о чем пишут научпоп-журналы

Наука и жизнь
7 самых громких скандалов в истории музыки 7 самых громких скандалов в истории музыки

Какие же омерзительные гадости вытворяют звезды шоу-бизнеса!

Maxim
Убийство императора Коммода Убийство императора Коммода

Картина «Убийство императора Коммода» Фернана Пелеса

Дилетант
7 вещей, которые в России точно лучше, чем в США 7 вещей, которые в России точно лучше, чем в США

Есть вещи, в которых мы однозначно побеждаем США

Maxim
Турция Турция

Турция сегодня – это друг или враг?

Esquire
Похороны памяти. Что скрывается за предложением Росатома установить фигуры Берии на ВДНХ Похороны памяти. Что скрывается за предложением Росатома установить фигуры Берии на ВДНХ

Нужно ли увековечивать память палачей?

СНОБ
Как экстрасенсы раскрывали преступления и раскрывали ли вообще Как экстрасенсы раскрывали преступления и раскрывали ли вообще

Раскрывали ли экстрасенсы хотя бы раз реальное преступление?

Популярная механика
«Неоднозначная репутация может покупателя отпугнуть»: как Алексей Тулупов зарабатывает и на продаже элитного жилья, и на хлебе «Неоднозначная репутация может покупателя отпугнуть»: как Алексей Тулупов зарабатывает и на продаже элитного жилья, и на хлебе

Как хлебокомбинат «Коломенский» приносит Алексею Тулупову 12 млрд рублей в год

Forbes
«Мы не просили тебя рожать»: сестра и мама осуждают мое решение «Мы не просили тебя рожать»: сестра и мама осуждают мое решение

Гештальт-терапевт — о том, как нести ответственность за свой выбор

Psychologies
Грань между насилием и БДСМ: уроки скандала с Арми Хаммером Грань между насилием и БДСМ: уроки скандала с Арми Хаммером

Почему в БДСМ реже происходят случаи насилия, чем в традиционных отношениях

СНОБ
«Мужчинам для женитьбы достаточно иметь пульс»: почему сериал «Бриджертоны» так возмутил российские соцсети и стоит ли его смотреть «Мужчинам для женитьбы достаточно иметь пульс»: почему сериал «Бриджертоны» так возмутил российские соцсети и стоит ли его смотреть

Разбираемся в феномене сериала «Бриджертоны»

Forbes
Эффект цитруса Эффект цитруса

Какие полезные качества скрывают в себе цитрусы

Лиза
Порно-реванш: почему мужчины делятся интимными фото и видео бывших подруг Порно-реванш: почему мужчины делятся интимными фото и видео бывших подруг

Разобрались, почему мужчины устраивают порно-месть своим бывшим девушкам

Psychologies
Теория U Теория U

Лидерство из будущего

kiozk originals
Смотрите женщину! 10 самых сексуальных амплуа в истории кино Смотрите женщину! 10 самых сексуальных амплуа в истории кино

Самые сексуальные женские амплуа в кино и лучшие актрисы, воплотившие их

Maxim
Пользователи Reddit «по приколу» подняли акции «вымирающих» розничных магазинов игр GameStop более чем на 360% Пользователи Reddit «по приколу» подняли акции «вымирающих» розничных магазинов игр GameStop более чем на 360%

Инвестиционные компании потеряли миллиарды долларов из-за пользователей Reddit

VC.RU
Карта: какие страны мира наиболее и наименее похожи на Россию Карта: какие страны мира наиболее и наименее похожи на Россию

Интересно было бы узнать, где в мире живут так же, как в России

Maxim
Физики получили прямое подтверждение парадокса Клейна Физики получили прямое подтверждение парадокса Клейна

Физики пронаблюдали туннелирование Клейна с помощью акустических волн

N+1
PayPal увеличила прибыль на 28%, повысив зарплату рядовым сотрудникам. Глава компании рассказал, почему это хороший пример для всех PayPal увеличила прибыль на 28%, повысив зарплату рядовым сотрудникам. Глава компании рассказал, почему это хороший пример для всех

Как PayPal пересмотрели систему оплаты труда и нарастили прибыль

Inc.
Свадьбы принца Уильяма, Ким Кардашьян и еще 8 самых дорогих свадеб 21 века Свадьбы принца Уильяма, Ким Кардашьян и еще 8 самых дорогих свадеб 21 века

Свадьбы не мировых, а космических масштабов

Cosmopolitan
Открыть в приложении