Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Playmate 2020 Playmate 2020

Полуфинал конкурса на самую горячую девушку по версии Playboy

Playboy
Как правильно мыть голову: важные правила, которые должна знать каждая Как правильно мыть голову: важные правила, которые должна знать каждая

Кажется, что может быть проще — вымыть голову!

Cosmopolitan
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Полюби зарядку! 9 простых упражнений от Ляйсан Утяшевой Полюби зарядку! 9 простых упражнений от Ляйсан Утяшевой

Гимнастка Ляйсан Утяшева показывает упражнения для утренней зарядки

Cosmopolitan
Дачное время Дачное время

Можно ли охватить несколькими предложениями дачный мир?

Наука и жизнь
На инвестиционной игле: как стартапы подсаживаются на венчурные деньги и почему это плохо На инвестиционной игле: как стартапы подсаживаются на венчурные деньги и почему это плохо

Почему многие проекты из претендентов в «единороги» превращаются в банкротов

Forbes
Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии

Что мы знаем о Николае Копернике?

Вокруг света
Брак не сложился: есть ли выход кроме развода? Брак не сложился: есть ли выход кроме развода?

Если супружество не приносит вам счастья, развод — не единственный выход

Psychologies
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Обзор камеры моментальной печати Instax SQUARE SQ1 Обзор камеры моментальной печати Instax SQUARE SQ1

Тестируем новую Instax, которая умеет быстро печатать квадратные фотографии

CHIP
Маэстро механики Маэстро механики

Самоучка-часовщик, который идет наперекор правилам и создает драконов и фей

Вокруг света
Нюстальгия Нюстальгия

Все мы видели фотографии Давида Дубницкого, но не знали его по имени

Maxim
Сторож Мардая Сторож Мардая

Этот секретный поселок в Монголии не нанесен на карты

Вокруг света
Бессонное царство Бессонное царство

Как перестать гонять мысли по кругу и быстро заснуть?

Лиза
Черное без черного Черное без черного

Парадоксы Ренуара и его «Девушек в черном»

Вокруг света
Как сделать таблицу в Ворде: 6 способов Как сделать таблицу в Ворде: 6 способов

Как вставить таблицу в Word, нарисовать ее или конвертировать из Excel

CHIP
10 научно-фантастических фильмов, в которых все правильно 10 научно-фантастических фильмов, в которых все правильно

Фантастические фильмы, которые действительно похожи на правду

Maxim
«Стояли в очереди на погрузку в автозак»: как прошло несогласованное шествие в Москве «Стояли в очереди на погрузку в автозак»: как прошло несогласованное шествие в Москве

Почему жители столицы снова вышли на митинги, несмотря на аресты организаторов?

Forbes
В ожидании второго сезона «Бриджертонов». Как сериал пошатнул стереотипы В ожидании второго сезона «Бриджертонов». Как сериал пошатнул стереотипы

Почему первый сезон «Бриджертонов» говорит о современности больше, чем кажется

РБК
Врачи описали два случая передачи опухоли от матери ребенку во время родов Врачи описали два случая передачи опухоли от матери ребенку во время родов

Дети вдохнули материнские раковые клетки, и те поселились в их легких

N+1
История мамы ребенка с аутизмом: «Творчество стало моей терапией» История мамы ребенка с аутизмом: «Творчество стало моей терапией»

Где взять ресурсы родителям особенных детей

Psychologies
«Фрагменты женщины»: на Netflix вышел тяжелый, но важный фильм о том, как пережить потерю ребенка «Фрагменты женщины»: на Netflix вышел тяжелый, но важный фильм о том, как пережить потерю ребенка

Почему тяжелую драму «Фрагменты женщины» все же стоит смотреть?

Forbes
Хотите повысить самооценку? Учитесь прощать других Хотите повысить самооценку? Учитесь прощать других

Может ли прощение и прощание с обидами повысить самооценку?

Psychologies
Точный расчет Точный расчет

Учимся составлять финансовый план на год и переводить мечты в цели

Лиза
Правила жизни Ларри Кинга Правила жизни Ларри Кинга

Ларри Кинг: Идеального интервью не существует

Esquire
10 убеждений, которые мешают вашей финансовой свободе 10 убеждений, которые мешают вашей финансовой свободе

Мечтая о материальном благополучии, понимаем ли мы, что мешает его достичь?

Psychologies
Как заработать миллион на человеческих слабостях, или  Почему ты пошел за хлебом, а купил чучело вальдшнепа Как заработать миллион на человеческих слабостях, или  Почему ты пошел за хлебом, а купил чучело вальдшнепа

Одна из причин экономических кризисов — твое неразумное потребление

Maxim
KPI как способ демотивации сотрудников KPI как способ демотивации сотрудников

Отрывок из книги Святослава Бирюлина «KPI, которые убьют ваш бизнес»

СНОБ
Венсан Кассель,Эдриан Броуди, Жан Рено — самые некрасивые секс-символы кино Венсан Кассель,Эдриан Броуди, Жан Рено — самые некрасивые секс-символы кино

«Не родись красивым, а родись талантливым» — так можно сказать об этих мужчинах

Cosmopolitan
Новинка кинопроката Новинка кинопроката

Главный кинотеатр Москвы снова в строю

AD
Открыть в приложении