Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Виртуальный секс Виртуальный секс

«Популярная механика» протестировала первую в мире виртуальную любовницу

Популярная механика
Ингредиенты решают: как пользоваться косметикой, чтобы она была эффективной Ингредиенты решают: как пользоваться косметикой, чтобы она была эффективной

Косметические ингредиенты: правила грамотного сочетания

Cosmopolitan
«У нас нет хлеба, мы умираем» «У нас нет хлеба, мы умираем»

Массовый голод с человеческими жертвами в СССР случался неоднократно

Дилетант
Мы засыпаем быстрее, если используем эти 5 приемов Мы засыпаем быстрее, если используем эти 5 приемов

Топ-5 способов погрузиться в сон быстро без использования специальных препаратов

Psychologies
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
Кто этот мощный старик? Кто этот мощный старик?

Краткое содержание жизни Джо Байдена

GQ
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Не просто усталость Не просто усталость

Синдром хронической усталости – опасное и коварное состояние

Лиза
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Mitsubishi L200 Siber Truck. Проверено Сибирью Mitsubishi L200 Siber Truck. Проверено Сибирью

Mitsubishi L200 в ярком камуфляже — проект сибирского технического центра STC

4x4 Club
С меня хватит С меня хватит

Как научиться выпивать осознанно

GQ
Секретные материалы: 7 мест в России, где люди и призраки живут рядом Секретные материалы: 7 мест в России, где люди и призраки живут рядом

В России полно мест, куда легко приехать, а вот уехать — не всегда

Maxim
Судьба телескопа Судьба телескопа

Зонд Hubble проработал на орбите 30 славных лет – но что ждет его дальше?

Популярная механика
Ошибки онлайн-шопинга — почему ты все время заказываешь не то? Ошибки онлайн-шопинга — почему ты все время заказываешь не то?

Что нужно знать, чтобы онлайн-шопинг прошел удачно

Cosmopolitan
Сказ о том, как воробьиный сычик мастер-класс давал… Сказ о том, как воробьиный сычик мастер-класс давал…

Воробьиный сычик — самая маленькая сова, встречающаяся в России

Наука и жизнь
Русские воины на службе у Орды Русские воины на службе у Орды

Привлечение в армию отрядов из покорённых земель являлось обычной практикой

Дилетант
Как устроить крутой мальчишник Как устроить крутой мальчишник

Искусство мальчишника долгое время считалось утерянным

Maxim
Как мы отталкиваем других, сами того не желая Как мы отталкиваем других, сами того не желая

Когда мы не уверены в себе, мы пытаемся компенсировать это за счет окружающих

Psychologies
Дружеский секс: что о нем думают женщины Дружеский секс: что о нем думают женщины

Дружеские отношения с привилегиями помогают быть уверенными в себе и счастливыми

Psychologies
Прокрастинация: почему мы откладываем дела и что с этим делать Прокрастинация: почему мы откладываем дела и что с этим делать

Что такое прокрастинация и как с ней бороться

РБК
5 вопросов, которые стоит задать самой себе перед дорогостоящей покупкой 5 вопросов, которые стоит задать самой себе перед дорогостоящей покупкой

Объясняем, как решиться на дорогостоящую покупку и не пожалеть

Cosmopolitan
Как выбрать подходящую карту памяти для видео в 4К? Как выбрать подходящую карту памяти для видео в 4К?

Видео в высоком разрешении предъявляет особые требования к карте памяти

CHIP
Новый хамелеон с Мадагаскара оказался самой маленькой рептилией Новый хамелеон с Мадагаскара оказался самой маленькой рептилией

Ученые открыли на Мадагаскаре новый вид крошечных хамелеонов-брукезий

N+1
Между джокером и трендом: как изменится мир за первую половину ХХI века Между джокером и трендом: как изменится мир за первую половину ХХI века

Футуролог: анализ текущих трендов позволяет очертить контуры будущего

Forbes
Распухший супернептун не вписался в теории формирования экзопланет Распухший супернептун не вписался в теории формирования экзопланет

Супернептун WASP-107b обладает очень низкой объемной плотностью

N+1
«Не внимая голосу совести» «Не внимая голосу совести»

«Око за око» — не лучший принцип для современного правосудия

Дилетант
Главное качество идеального партнера Главное качество идеального партнера

Какая черта любимого человека делает отношения с ним или с ней идеальными?

Psychologies
Заверните всех: 8 самых богатых молодых холостяков России Заверните всех: 8 самых богатых молодых холостяков России

Рассказываем о самых завидных российских женихах

Cosmopolitan
«В месяц уходит пять пар перчаток, потому что крабы кусаются»: чем занимается и сколько зарабатывает моряк-краболов «В месяц уходит пять пар перчаток, потому что крабы кусаются»: чем занимается и сколько зарабатывает моряк-краболов

Моряк-краболов — о своей работе, доходе и планах на жизнь

VC.RU
9 признаков того, что вы влюблены не в человека, а в его образ 9 признаков того, что вы влюблены не в человека, а в его образ

Признаки того, что вы идеализируете партнера и строите отношения с его образом

Psychologies
Открыть в приложении