Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Сон о Соне Сон о Соне

Самая сексуальная солистка самой популярной группы дала нам интервью!

Maxim
10 удивительных фактов о голубях: они совсем не глупые и не грязные 10 удивительных фактов о голубях: они совсем не глупые и не грязные

10 фактов о голубях как вызов стереотипам

Популярная механика
Электроны и котики Электроны и котики

Электроны и котики

Наука и жизнь
Илья Лагутенко Илья Лагутенко

Мы решили познакомиться поближе с Ильей Лагутенко

Maxim
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Так сейчас не делают: 10 фактов к юбилею лучшего «Мерседеса» в истории Так сейчас не делают: 10 фактов к юбилею лучшего «Мерседеса» в истории

Mercedes-Benz W123 — идеальный вариант приобщиться к классике

Maxim
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Домашние огурцы Домашние огурцы

Внесезонное выращивание огурцов — занятие крайне интересное

Наука и жизнь
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Гранд-вавилон: склоки, скандалы, влюбленности и прочее закулисье Большого театра Гранд-вавилон: склоки, скандалы, влюбленности и прочее закулисье Большого театра

Рассказываем о самых громких историях о Большом театре

Cosmopolitan
Тимоти Шаламе Тимоти Шаламе

Правила жизни актера Тимоти Шаламе

Esquire
2 литра воды в день — хорошо, а 2 в час — смертельно. Что происходит с организмом при водной интоксикации 2 литра воды в день — хорошо, а 2 в час — смертельно. Что происходит с организмом при водной интоксикации

Что будет, если наше тело получит больше жидкости, чем нужно?

Популярная механика
Микроулитки на страже экологии Микроулитки на страже экологии

Биологическое разнообразие Арктики изучено крайне неравномерно

Наука и жизнь
Как изменились звезды сериала Как изменились звезды сериала

С 2004 по 2009 год страна следила за приключениями "прекрасной няни" Вики

Cosmopolitan
Форматы книг в зеркале живописи Форматы книг в зеркале живописи

Какие книги читали в разные времена представители разных сословий

Наука и жизнь
Откажитесь от строгого расписания тренировок. Оно мешает и демотивирует, выяснили ученые Откажитесь от строгого расписания тренировок. Оно мешает и демотивирует, выяснили ученые

Дисциплина и стремление установить график тренировок часто не работают

Inc.
Как создатель автомобиля Бонда и его жена стали миллиардерами, бросив вызов Илону Маску Как создатель автомобиля Бонда и его жена стали миллиардерами, бросив вызов Илону Маску

Хенрик Фискер после краха решился снова бросить вызов Илону Маску

Forbes
Кэри Маллиган: «Меня всегда поддерживали родители» Кэри Маллиган: «Меня всегда поддерживали родители»

Кэри Маллиган о новом проекте и о первом поцелуе с Ди Каприо

Cosmopolitan
Открытка против голода Открытка против голода

«Спасите умирающих детей Поволжья»

Дилетант
Эпоха великого порицания: как незнакомцы из соцсетей превращаются в палачей Эпоха великого порицания: как незнакомцы из соцсетей превращаются в палачей

Отрывок из книги «Итак, вас публично унизили» Джона Ронсона

Forbes
5 съедобных блюд, которые готовятся меньше 298 секунд 5 съедобных блюд, которые готовятся меньше 298 секунд

Оказывается, за пять минут можно создать целый шедевр на сковородке!

Maxim
Советский Союз Советский Союз

Дизайнер Алена Сковородникова иронично обыграла атрибуты советской эпохи

AD
Звезды сериала Звезды сериала

Рассказываем, как изменилась жизнь актеров культового "Клана Сопрано"

Cosmopolitan
5 легальных способов получить удовольствие от длинной поездки за рулем 5 легальных способов получить удовольствие от длинной поездки за рулем

Опять собрался на дачу — отдыхать от восьми часов на трассе?

Maxim
Перепись населения СССР, результаты которой был объявлены «вредительскими» Перепись населения СССР, результаты которой был объявлены «вредительскими»

История однодневной переписи населения СССР 1937 года

Maxim
Думаете завести питомца? Задайте себе эти 8 вопросов Думаете завести питомца? Задайте себе эти 8 вопросов

Как понять, готовый ли вы завести четвероногого друга?

Psychologies
Светлана Сачкова: Люди и птицы. Отрывок из романа Светлана Сачкова: Люди и птицы. Отрывок из романа

Глава из романа Светланы Сачковой «Люди и птицы»

СНОБ
Красиво, но с натяжкой: все, что нужно знать о SMAS-лифтинге Красиво, но с натяжкой: все, что нужно знать о SMAS-лифтинге

Разбираем SMAS-подтяжку детально!

Cosmopolitan
Porsche Taycan. Когда-нибудь мы привыкнем Porsche Taycan. Когда-нибудь мы привыкнем

Переосмысляем понятие быстрых машин на примере Porsche Taycan

4x4 Club
Ты умываешься неправильно! 8 самых частых ошибок при удалении макияжа Ты умываешься неправильно! 8 самых частых ошибок при удалении макияжа

Самые распространенные ошибки при удалении макияжа с глаз

Cosmopolitan
Открыть в приложении