На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Солнечная петербурженка Солнечная петербурженка

Кристина Горбунова — официально Playmate 2020!

Playboy
Дроны распределили квантовую запутанность на километр Дроны распределили квантовую запутанность на километр

Оптическая схема распределения запутанных пар фотонов использует беспилотники

N+1
Белошвейка из Тура Белошвейка из Тура

Герцогиня де Шеврёз — виртуозная политическая интриганка эпохи двух кардиналов

Дилетант
Готовим дома магазинные десерты: молочный ломтик, ириска с орехом и маршмелоу Готовим дома магазинные десерты: молочный ломтик, ириска с орехом и маршмелоу

Готовить дома магазинные десерты — это вызов себе

Cosmopolitan
Два герцога: Ришельё против Бэкингема Два герцога: Ришельё против Бэкингема

Противостояние Англии и Франции в XVII веке — это ещё и противостояние министров

Дилетант
Блюда в стиле хюгге: рецепты для будней и праздников Блюда в стиле хюгге: рецепты для будней и праздников

Рецепты, чтобы наполнить дом ароматами уютной и сытной еды

Psychologies
Геометрия в стиле да Винчи Геометрия в стиле да Винчи

Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизнь
Джонатан Литэм: Помутнение Джонатан Литэм: Помутнение

Отрывок из романа-игры Джонатана Литэма «Помутнение»

СНОБ
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
«Чандра» обнаружила «двуличность» самого молодого магнитара Млечного Пути «Чандра» обнаружила «двуличность» самого молодого магнитара Млечного Пути

Свойства этого магнитара находятся между замагниченными пульсарами и магнитарами

N+1
Дачное время Дачное время

Можно ли охватить несколькими предложениями дачный мир?

Наука и жизнь
«Эволюция красоты» «Эволюция красоты»

Отрывок из книги Ричарда Прама «Эволюция красоты» о теории полового отбора

N+1
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
«Родители бы разозлились»: миллениалы в Китае сбегают из городов в сёла, устав от выгорания на работе и в вузах «Родители бы разозлились»: миллениалы в Китае сбегают из городов в сёла, устав от выгорания на работе и в вузах

Коммуны «без иерархий», где молодые фрилансеры и дизайнеры занимаются ремеслом

VC.RU
Лена Горностаева Лена Горностаева

Какую часть мужского тела Лена Горностаева считает самой сексуальной?

Playboy
Созданы первые синтетические бактериофаги Созданы первые синтетические бактериофаги

Эти бактериофаги могут быть полезны для разработки антибактериальных средств

N+1
Люди на пределе Люди на пределе

Возможности нашего собственного, среднестатистического тела

Вокруг света
Морские организмы увязали углеродный цикл Земли с изменениями климата за 50 миллионов лет Морские организмы увязали углеродный цикл Земли с изменениями климата за 50 миллионов лет

Модель климатических изменений на протяжении последних 50 миллионов лет

N+1
Вселенная Эдгара По Вселенная Эдгара По

Иногда чуткие к достижениям науки писатели могут предугадывать будущее

Наука и жизнь
Как сделать первый шаг к переменам? 4 проверенных способа Как сделать первый шаг к переменам? 4 проверенных способа

Итак, мы решили что-то изменить. Как нам приступить к делу без промедления?

Psychologies
Таёжное проклятие Таёжное проклятие

В начале 1930-х в Кремль стали поступать тревожные сообщения с Дальнего Востока

Дилетант
Любовь, похожая на сон: каким получился сериал Marvel «Ванда/Вижн» Любовь, похожая на сон: каким получился сериал Marvel «Ванда/Вижн»

Зачем Marvel понадобилось выходить за рамки привычных экшен-блокбастеров

Esquire
Физики описали еще один способ получения энергии из черных дыр Физики описали еще один способ получения энергии из черных дыр

Физики: найден новый способ извлечь энергию из вращающейся черной дыры

N+1
KIA Mohave. Из аутсайдеров в бестселлеры KIA Mohave. Из аутсайдеров в бестселлеры

KIA Mohave стал популярнее k-pop групп в сегменте больших кроссоверов

4x4 Club
10 российских сериалов о любви, за которые не стыдно 10 российских сериалов о любви, за которые не стыдно

Российские сериалы, в которых авторы посмотрели на любовь под новым углом

Cosmopolitan
Праздник, который всегда с тобой Праздник, который всегда с тобой

Андрей Подшибякин: мы любим праздники, но относимся к ним специфически

GQ
Все свое: Шэрон Стоун и другие звезды, которые никогда не делали пластику Все свое: Шэрон Стоун и другие звезды, которые никогда не делали пластику

Эти знаменитые красавицы по сей день могут похвастаться идеальной внешностью

Cosmopolitan
Обзор камеры моментальной печати Instax SQUARE SQ1 Обзор камеры моментальной печати Instax SQUARE SQ1

Тестируем новую Instax, которая умеет быстро печатать квадратные фотографии

CHIP
5 красочных фотографий буйства стихий 5 красочных фотографий буйства стихий

Живописным, нелепым и трагичным может быть столкновение человека и стихии

Maxim
Одиночный ион провели сквозь бозе-конденсат Одиночный ион провели сквозь бозе-конденсат

Физикам удалось понаблюдать за контролируемым движением одиночного иона рубидия

N+1
Открыть в приложении