На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Любители подземной тишины Любители подземной тишины

Что может быть страннее белых растений!

Наука и жизнь
256-кубитный программируемый квантовый симулятор помог обнаружить новые квантовые фазы 256-кубитный программируемый квантовый симулятор помог обнаружить новые квантовые фазы

Физики реализовали 256-кубитный программируемый квантовый симулятор

N+1
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
Жуткие фанаты-преследователи Брэда Питта, Селены Гомес, Николь Кидман и других Жуткие фанаты-преследователи Брэда Питта, Селены Гомес, Николь Кидман и других

Нередко жизнь мировых знаменитостей и секс-символов омрачают сталкеры

Cosmopolitan
Драма 1921 года Драма 1921 года

Страшные подробности царь-голода в Советской России 1921 года

Дилетант
Археологи нашли в Великом Новгороде средневековый Немецкий двор Археологи нашли в Великом Новгороде средневековый Немецкий двор

Археологи обнаружили границу Немецкого двора и фрагменты двух средневековых улиц

N+1
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Старостильники: юлианский календарь как норма веры Старостильники: юлианский календарь как норма веры

Рождество по юлианскому календарю обречено превращаться в летний праздник

Weekend
Неизвестный минерал из вулкана Толбачик Неизвестный минерал из вулкана Толбачик

Сотрудники СПбГУ обнаружили новый минерал на территории вокруг вулкана Толбачик

Наука и жизнь
Ничего не скрывая: 7 способов носить бралетт напоказ Ничего не скрывая: 7 способов носить бралетт напоказ

Всегда хотела попробовать внедрить бралетт в свой гардероб?

Cosmopolitan
«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
7 блистательных фактов о главном ордене СССР 7 блистательных фактов о главном ордене СССР

Золото, платина и бриллианты «Победы»

Maxim
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Cheryexeed TXL. Не так плох, как вы возможно думали Cheryexeed TXL. Не так плох, как вы возможно думали

Cheryexeed TXL — кроссовер, о покупке которого стоит задуматься

4x4 Club
Новая «Арктика» Новая «Арктика»

Атомоходы ЛК-60Я заменят ледоколы прошлых поколений

Популярная механика
Попытка защититься от бактериофагов вернула бактерии чувствительность к антибиотикам Попытка защититься от бактериофагов вернула бактерии чувствительность к антибиотикам

Ученые использовали бактериофаги против устойчивой к антибиотикам бактерии

N+1
Ключевые фигуры войны Ключевые фигуры войны

Первая часть ответов на вопросы о главных действующих лицах Второй мировой войны

Дилетант
Полюби зарядку! 9 простых упражнений от Ляйсан Утяшевой Полюби зарядку! 9 простых упражнений от Ляйсан Утяшевой

Гимнастка Ляйсан Утяшева показывает упражнения для утренней зарядки

Cosmopolitan
Сюрреализм — это я! 9 фактов о Сальвадоре Дали Сюрреализм — это я! 9 фактов о Сальвадоре Дали

Самые невероятные истории из жизни знаменитого сюрреалиста

Вокруг света
Чем старше, тем красивее! 13 голливудских звезд, которым годы пошли на пользу Чем старше, тем красивее! 13 голливудских звезд, которым годы пошли на пользу

Знаменитости, которые с годами выглядят только лучше

Cosmopolitan
30 способов перезапустить свое тело 30 способов перезапустить свое тело

Полное руководство по тому, как выжать максимум из человеческого организма

kiozk originals
«Вы должны понять, кто вы, — и тогда вопрос выбора одежды станет очень простым»: о чем говорили Раф Симонс и Миучча Прада после мужского показа Prada «Вы должны понять, кто вы, — и тогда вопрос выбора одежды станет очень простым»: о чем говорили Раф Симонс и Миучча Прада после мужского показа Prada

Раф Симонс и Миучча Прада продолжают совместную работу над коллекциями Prada

Esquire
Как устроить крутой мальчишник Как устроить крутой мальчишник

Искусство мальчишника долгое время считалось утерянным

Maxim
«Зачем университет? Трата времени»: Шепелев об образовании сына Жанны Фриске «Зачем университет? Трата времени»: Шепелев об образовании сына Жанны Фриске

Телеведущий Дмитрий Шевелев высказался на злободневную для родителей тему

Cosmopolitan
Почему России нужны политические ток-шоу Почему России нужны политические ток-шоу

Нужно ли закрыть «политические говорильни» на отечественном телевидении?

СНОБ
Первый лимузин Страны Советов, или С кого слизали ЗИС-101 Первый лимузин Страны Советов, или С кого слизали ЗИС-101

В проекте создания первого советского лимузина принимал участие Сталин

Maxim
Как выбрать недорогое кружево: 8 советов, которые уберегут от модного провала Как выбрать недорогое кружево: 8 советов, которые уберегут от модного провала

Хочется повторить подиумный образ с кружевным платьем за меньшие деньги?

Cosmopolitan
Обман зрения Обман зрения

Согласно статистике, многие женщины считает себя намного полней, чем они есть

Psychologies
В роли жилетки В роли жилетки

6 способов утешить подругу в беде

Лиза
Энциклопедия стендапа: боец Джо Роган Энциклопедия стендапа: боец Джо Роган

Джо Роган: от разносчика газет до популярного стендапера

Maxim
Открыть в приложении