На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Белошвейка из Тура Белошвейка из Тура

Герцогиня де Шеврёз — виртуозная политическая интриганка эпохи двух кардиналов

Дилетант
Лучшие фильмы ужасов 2020 года по мнению фанатов жанра Лучшие фильмы ужасов 2020 года по мнению фанатов жанра

Очень полезный список категории «чего бы такого еще посмотреть»

Maxim
К последнему морю К последнему морю

Почему Батый, покорив Русь, без передышки вторгся в Центральную Европу

Дилетант
Измениться в лице Измениться в лице

Правильно подобранная челка, длина, цвет волос помогут скорректировать внешность

Лиза
Неизвестный минерал из вулкана Толбачик Неизвестный минерал из вулкана Толбачик

Сотрудники СПбГУ обнаружили новый минерал на территории вокруг вулкана Толбачик

Наука и жизнь
Российские учёные оборудовали рентгеновские лазеры «секундомером» Российские учёные оборудовали рентгеновские лазеры «секундомером»

Физики создали метод синхронизации импульсов сверхбыстрых рентгеновских лазеров

Популярная механика
Геометрия в стиле да Винчи Геометрия в стиле да Винчи

Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизнь
Вошли в историю: 12 звезд, в честь которых назвали сумки Вошли в историю: 12 звезд, в честь которых назвали сумки

Знаменитости, в честь которых названы одни из самых желанных сумок в мире

Cosmopolitan
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Как разговаривать с человеком, который тебя бесит Как разговаривать с человеком, который тебя бесит

10 пунктов, которые помогут провести переговоры с самыми безнадежными упрямцами

Maxim
Дачное время Дачное время

Можно ли охватить несколькими предложениями дачный мир?

Наука и жизнь
Йоко Оно Йоко Оно

Правила жизни художницы, музыкантки и вдовы Джона Леннона Йоко Оно

Esquire
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Алкогений: Генри Миллер Алкогений: Генри Миллер

«Для выживания мне нужны собеседники, книги, театры, музыка и спиртное».

Maxim
Нейронные герои Нейронные герои

Валерий Шарипов рассказал «Популярной механике» о своих синтетических героях

Популярная механика
«Ад: История идеи и ее земные воплощения» «Ад: История идеи и ее земные воплощения»

Какие формы в разное время принимали адские муки

N+1
Афганский капкан Афганский капкан

За осуждение вторжения в Афганистан Андрей Сахаров был выслан из Москвы

Дилетант
6 интересных фактов из жизни актера и режиссера Кевина Костнера 6 интересных фактов из жизни актера и режиссера Кевина Костнера

Жизнь Кевина Костнера наполнена необычными событиями: рассказываем о них

Maxim
Ее светлость Ее светлость

Эрика проделала длинный путь из закарпатской деревушки до этой волнующей обложки

Maxim
Моя терапия: «Я так боялась воды, что не могла даже умываться» Моя терапия: «Я так боялась воды, что не могла даже умываться»

Опасная для жизни ситуация может нанести серьезную психологическую травму

Psychologies
Обед для Муссолини Обед для Муссолини

1 июля 1924 года советский полпред в Риме устроил обед для фашистского вождя

Дилетант
Самые странные корабли, когда-либо выходившие в море Самые странные корабли, когда-либо выходившие в море

Как тебе такое, Дейви Джонс?

Maxim
Мусор или реликвия: как коллекционер пивных банок помогает археологам Мусор или реликвия: как коллекционер пивных банок помогает археологам

Все зависит от угла, под которым вы смотрите на науку

Популярная механика
Домашний фитнес: как сделать тренировки дома максимально эффективными Домашний фитнес: как сделать тренировки дома максимально эффективными

Рассказываем о том, как правильно и эффективно тренироваться дома

Cosmopolitan
У вымирающих северных гладких китов родилось 14 китят У вымирающих северных гладких китов родилось 14 китят

Сезон размножения 2021 года выдался для китов самым удачным за последнее время

N+1
Бизнес-коуч на триллион долларов: каким был наставник основателей Google, Apple, Amazon и Twitter Бизнес-коуч на триллион долларов: каким был наставник основателей Google, Apple, Amazon и Twitter

Отрывок из книги о Билле Кэмпбелле, легендарном коуче Кремниевой долины

Forbes
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Даешь контакт! Даешь контакт!

Как заставить-уговорить отца заниматься воспитанием детей?

Лиза
«Беременный силуэт» против «пауэр-дрессинга»: как мода 90-х возвращала женщине право на тело «Беременный силуэт» против «пауэр-дрессинга»: как мода 90-х возвращала женщине право на тело

Отрывок из книги Франчески Гранаты «Экспериментальная мода»

Forbes
Стресс омолаживает кожу! Не веришь? Врач-косметолог расскажет, что происходит Стресс омолаживает кожу! Не веришь? Врач-косметолог расскажет, что происходит

Какой именно стресс влияет на кожу и как справиться с его негативным эффектом

Cosmopolitan
Открыть в приложении