На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Евпатий Коловрат: сотворение героя Евпатий Коловрат: сотворение героя

Существовал ли Евпатий Коловрат

Дилетант
Исследование: люди, которые ценят деньги выше времени, оказались несчастнее Исследование: люди, которые ценят деньги выше времени, оказались несчастнее

Постоянное стремление заработать больше может снизить удовлетворённость жизнью

Inc.
«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
Чем занять ребенка дома в плохую погоду? 10 игр для веселого вечера Чем занять ребенка дома в плохую погоду? 10 игр для веселого вечера

На улице гололед и сильный ветер? Не беда: дома тоже можно отлично повеселиться!

Psychologies
«Люди людей еши» «Люди людей еши»

Неурожайные года и голод на Руси

Дилетант
«Либо ограничить, либо принять»: вокруг рассылок Substack возникли рекламные стартапы вопреки бизнес-модели сервиса «Либо ограничить, либо принять»: вокруг рассылок Substack возникли рекламные стартапы вопреки бизнес-модели сервиса

Как вокруг платформы для журналистов стали появляться рекламные стартапы

VC.RU
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
4 удивительных парадокса самовосприятия 4 удивительных парадокса самовосприятия

Исследуем парадоксы самовосприятия и отвечаем на каверзные вопросы

Maxim
Распилить все поровну Распилить все поровну

Мадагаскар – одна из беднейших стран в мире

Вокруг света
Ты умываешься неправильно! 8 самых частых ошибок при удалении макияжа Ты умываешься неправильно! 8 самых частых ошибок при удалении макияжа

Самые распространенные ошибки при удалении макияжа с глаз

Cosmopolitan
Геометрия в стиле да Винчи Геометрия в стиле да Винчи

Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизнь
Земля глазами инопланетян. Отрывок из книги Нила Деграсса Тайсона «Астрофизика начинающим» Земля глазами инопланетян. Отрывок из книги Нила Деграсса Тайсона «Астрофизика начинающим»

Отрывок из книги Н. Деграсса, в которой он отвечает на вопросы о Вселенной

СНОБ
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
От второй чеченской войны до протестов на Болотной: писатель Захар Прилепин — о России нулевых От второй чеченской войны до протестов на Болотной: писатель Захар Прилепин — о России нулевых

Почему после 90-х страна ждала от наступающего десятилетия большего

Esquire
Неизвестные X и Y Неизвестные X и Y

Как и, главное, зачем природа разделила обитателей земли на юношей и девушек

Вокруг света
Вечные двигатели рок-н-ролла Вечные двигатели рок-н-ролла

Новый альбом AC/DC рвет хит-парады: это новость 1975 или 2021 года?

GQ
Операция «Поимка» Операция «Поимка»

Пётр I хотел во что бы то ни стало вернуть сбежавшего из России сына

Дилетант
Битва за трубу: почему владелец «Тольяттиазота» обвиняет «Уралхим» в использовании «методов из 90-х» Битва за трубу: почему владелец «Тольяттиазота» обвиняет «Уралхим» в использовании «методов из 90-х»

«Продолжение рейдерской атаки» на Тольяттиазот

Forbes
Техника бокса Техника бокса

Современный спорт – это технологии

Популярная механика
Доходы и расходы в новых условиях: как бизнесу расставить приоритеты Доходы и расходы в новых условиях: как бизнесу расставить приоритеты

На чем можно сэкономить компании, чтобы остаться на плаву?

СНОБ
«Чего не сделали готы, то сделали скόты» «Чего не сделали готы, то сделали скόты»

Мраморы Элджина — жемчужина коллекции Британского музея

Дилетант
Как открыть детский сад в квартире многоэтажки Как открыть детский сад в квартире многоэтажки

Открыть детский сад на базе обычной квартиры стало проще

СНОБ
«Ад: История идеи и ее земные воплощения» «Ад: История идеи и ее земные воплощения»

Какие формы в разное время принимали адские муки

N+1
Филипп Бессон: Хватит врать. Отрывок из французского бестселлера Филипп Бессон: Хватит врать. Отрывок из французского бестселлера

Глава из романа «Хватит врать» Филиппа Бессона о воспоминаниях о первой любви

СНОБ
Как избежать запоев на праздниках: 4 правила от эксперта Как избежать запоев на праздниках: 4 правила от эксперта

Почему известные способы выхода из запоя не работают?

Psychologies
Звездное небо над головой: 10 фактов о созвездиях Звездное небо над головой: 10 фактов о созвездиях

Красивые, приятные и полезные факты о небе и созвездиях

Популярная механика
Создатель Pebble запустил агрегатор мессенджеров Beeper: как он устроен, зачем нужен и чем отличается от аналогов Создатель Pebble запустил агрегатор мессенджеров Beeper: как он устроен, зачем нужен и чем отличается от аналогов

Эрик Мигиковски объединил все мессенджеры в универсальном сервисе

VC.RU
5 признаков того, что близкий становится зависимым 5 признаков того, что близкий становится зависимым

Как распознать тревожные признаки зависимости в самом начале?

Psychologies
Как изменился макияж за 100 лет — главные тренды от 1910-х до наших дней Как изменился макияж за 100 лет — главные тренды от 1910-х до наших дней

Как менялась мода и какими были главные бьюти-тренды на протяжении века

Cosmopolitan
Как разговаривать с кем угодно, когда угодно и где угодно: уроки успешных разговоров из книги Ларри Кинга Как разговаривать с кем угодно, когда угодно и где угодно: уроки успешных разговоров из книги Ларри Кинга

Отрывок из книги Ларри Кинга, посвященной ораторскому мастерству

VC.RU
Открыть в приложении